1聖マリアンナ医科大学 2020年 数学 第1問解答・解説

(1)　 $2020=2^2\cdot5\cdot101$ であるから、約数の個数は $(2+1)(1+1)(1+1)=12$ 個である。約数の和は $$(1+2+4)(1+5)(1+101)=7\cdot6\cdot102=4284$$ である。

(2)　 平面 $ABC$ は、3点の座標から $x+y+z=1$ である。線分 $OD$ 上の点は $(t,t,t)$ ($0\le t\le1$) と表せるので、交点 $E$ では $3t=1$、すなわち $t=1/3$ となる。したがって $OE:ED=t:(1-t)=1:2$。

(3)　 $0\le x\le1$ では $y=2x(1-x)$、$x\le0$ または $x\ge1$ では $y=2x(x-1)$ である。直線との交点を求めると、前者の範囲では $2x(1-x)=2ax$ より $x=0$ または $x=1-a$、後者では $2x(x-1)=2ax$ より $x=0$ または $x=1+a$ となる。異なる3点を得るには、$1-a$ が $(0,1)$ にあり、$1+a>1$ であることが必要十分であり、これは $0<a<1$ である。このとき $P,Q,R$ の $x$ 座標は $0,1-a,1+a$。 $Q$ と $R$ の間では曲線が直線より下にあるので、2つの囲まれた面積は $$\displaystyle A_1=\int_0^{1-a}2x(1-a-x)\,dx=\frac{(1-a)^3}{3},$$ $$\displaystyle A_2=\int_{1-a}^{1}2x\{x-(1-a)\}\,dx+\int_1^{1+a}2x(1+a-x)\,dx=2a^2.$$ よって $A_1=A_2$ は $(1-a)^3=6a^2$ と同値であり、整理すると $(a+1)^3=2$。条件 $0<a<1$ のもとで解は $a=\sqrt[3]{2}-1$ である。これは $1<\sqrt[3]{2}<2$ より確かに条件を満たす。

検算として、この値を $(a+1)^3=2$ に代入すると $(1-a)^3=6a^2$ が得られ、上の2面積が一致する。