2聖マリアンナ医科大学 2020年 数学 第2問解答・解説

(1)　 $z_1^5=1$ の根の偏角は $\displaystyle 0,\frac{2\pi}{5},\frac{4\pi}{5},\frac{6\pi}{5},\frac{8\pi}{5}$ である。このうち実数でない根で偏角が最小なのは $\displaystyle \frac{2\pi}{5}$ のものだから、 $$\displaystyle z_1=1\left(\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5}\right).$$ また $|z_1|=1$ より $1/z_1=\overline{z_1}$ なので、 $$\displaystyle z_1+\frac1{z_1}=2\cos\frac{2\pi}{5}.$$

(2)　 $z_2^5=-1$ の根の偏角は $\displaystyle \frac{\pi}{5},\frac{3\pi}{5},\pi,\frac{7\pi}{5},\frac{9\pi}{5}$ であり、実数でない根のうち偏角最小のものは $z_2=e^{i\pi/5}$ である。一方 $z_1=e^{2\pi i/5}=z_2^2$。したがって③は正しい。さらに $z_1^3=e^{6\pi i/5}=-z_2$ より②が正しく、 $$z_1^3z_2^4=e^{i(6\pi/5+4\pi/5)}=1$$ より④も正しい。①では $z_1^2=e^{4\pi i/5}\ne z_2$。⑤では $z_1^4=e^{8\pi i/5}=-z_2^3$ であるから、$z_1^4-z_2^3\ne0$。よって正しいものは②、③、④。

(3)　 $x=z+1/z$ とし、$u_n=z^n+z^{-n}$ とおくと、$u_0=2,u_1=x$ であり、$u_{n+1}=xu_n-u_{n-1}$ である。順に計算すると $u_5=x^5-5x^3+5x$。$z_1^5=1$ より $u_5=2$ だから $$x_1^5-5x_1^3+5x_1-2=(x_1-2)(x_1^2+x_1-1)^2=0.$$ $z_1\ne1$ なので $x_1\ne2$、よって $x_1$ は $x^2+x-1=0$ の解であり、[a]は⑤。 同様に $z_2^5=-1$ より $u_5=-2$ であるから $$x_2^5-5x_2^3+5x_2+2=(x_2+2)(x_2^2-x_2-1)^2=0.$$ $z_2\ne-1$ なので $x_2\ne-2$。よって $x_2$ は $x^2-x-1=0$ の解であり、[b]は③。

(4)　 正十角形は中心角 $36^\circ$ の二等辺三角形10個に分けられる。半径が1なので $$\displaystyle S=10\cdot\frac12\sin36^\circ=5\sin36^\circ.$$ (3)の二次方程式と $x_2=2\cos(\pi/5)>0$ から $x_2=(1+\sqrt5)/2$。よって $\cos72^\circ=(\sqrt5-1)/4$。したがって $$\displaystyle \sin36^\circ=\sqrt{\frac{1-\cos72^\circ}{2}}=\frac14\sqrt{10-2\sqrt5},\qquad S=\frac54\sqrt{10-2\sqrt5}.$$ よって $\text{シ}=10,\text{ス}=2$。

(5)　 $2.2<\sqrt5<2.3$ から $5.4<10-2\sqrt5<5.6$。ゆえに $$\displaystyle \frac{135}{16}<S^2=\frac{25}{16}(10-2\sqrt5)<\frac{140}{16}.$$ ここで $135/16>2.9^2$、$140/16<3^2$ だから、$2.9<S<3.0$。したがって④。

検算として、$\cos72^\circ=(\sqrt5-1)/4$ から半角の式で得た $S^2=(25/16)(10-2\sqrt5)$ は、$5\sin36^\circ$ の二乗とも一致し、範囲判定にも矛盾しない。