3聖マリアンナ医科大学 2020年 数学 第3問解答・解説

(1)　 $a=1$ では漸化式は $a_{n+1}=1$ で初項も1だから、すべての項が1である。よって $a_4=1$、極限も1。$a=2$ では $$a_1=2,\quad a_2=2^2=4,\quad a_3=2^4=16,\quad a_4=2^{16}=65536.$$

(2)　 図では $P_1$ と $P_3$ が直線 $y=x$ 上、$P_2$ と $P_4$ が曲線 $y=a^x$ 上にある。したがって $P_1=(a_n,a_n)$ なので $a=a_n$（③）。$P_2$ は同じ横座標 $a_n$ で曲線上にあるから $b=a^{a_n}=a_{n+1}$（④）。次に $P_3$ は $y=x$ 上で横座標 $b$ だから $c=b=a_{n+1}$（④）。最後に $P_4$ は曲線上で横座標 $c$ なので $d=a^c=a_{n+2}$（⑤）。

(3)　 接点の $x$ 座標を $t$ とする。接するためには $$a^t=t,\qquad a^t\log a=1.$$ したがって $t\log a=1$。$t=a^t$ の両辺の対数を取ると $\log t=t\log a=1$ となるので $t=e$、さらに $\log a=1/e$ より $a=e^{1/e}$。 このとき漸化式は $a_{n+1}=e^{a_n/e}$、初項は $a_1=e^{1/e}$ である。$1/e<1$ より $0<a_1<e$。関数 $h(x)=e^{x/e}-x$ は $0<x<e$ で $$\displaystyle h'(x)=\frac1e e^{x/e}-1<0,\qquad h(e)=0,$$ となるので $h(x)>0$、すなわち $e^{x/e}>x$ である。また $x<e$ なら $e^{x/e}<e$。従って帰納的に $a_n<a_{n+1}<e$ が成り立ち、数列は増加かつ上に有界であるから極限 $L$ をもつ。連続性から $L=e^{L/e}$。上の $h(x)>0$ は $0<x<e$ で成り立ち、$h(e)=0$ なので、この範囲の固定点は $e$ だけであり、$L=e$。

検算として $a=e^{1/e}$ では $a^e=e$ かつ $\displaystyle \frac{d}{dx}a^x|_{x=e}=a^e\log a=e\cdot(1/e)=1$ となり、直線 $y=x$ と値・傾きが一致する。