自治医科大学／2020年度／前期

自治医科大学 2020年数学第17~21問解答・解説

このページには広告が含まれます。

1問題

自治医科大学2020年度第17~21問

次の文章を読み，以下の問い（問題17～21）に対する選択肢から最も適当なものを一つ選べ。

曲線 $C_{k}:y=e^{-kx}$ （ $k$ は自然数， $x$ は正の実数）について考える。曲線 $C_{k}$ 上の点 $P_{k}(t,e^{-kt})$ （ $t$ は正の実数）における曲線 $C_{k}$ の接線を $L_{k}$ とし， $L_{k}$ と $x$ 軸との交点を $A_{k}$ ， $L_{k}$ と $y$ 軸との交点を $B_{k}$ とする（原点を $O$ とする）。

I. $k=1$ のとき， $\triangle OA_{1}B_{1}$ の面積は， $t=\boxed{17}$ のとき最大値 $\boxed{18}$ となる。

問題17の選択肢： $\begin{array}{lllll} ア 0 & カ 1 & サ 2 & タ 3 & ナ 4 \\ ハ 5 & マ 6 & ヤ 7 & ラ 8 & ワ 9 \end{array}$

問題18の選択肢： $\displaystyle \begin{array}{lllll} ア \frac{1}{e} & カ \frac{2}{e} & サ \frac{3}{e} & タ \frac{4}{e} & ナ \frac{5}{e} \\ ハ \frac{1}{2e} & マ \frac{3}{2e} & ヤ \frac{2}{3e} & ラ \frac{5}{3e} & ワ \frac{7}{3e} \end{array}$

II. $\triangle OA_{k}B_{k}$ の面積は， $t=\boxed{19}$ のとき，最大値 $\boxed{20}$ をとる。

問題19の選択肢： $\displaystyle \begin{array}{lllll} ア \frac{1}{k^{2}} & カ \frac{2}{k^{2}} & サ \frac{3}{k^{2}} & タ \frac{1}{2k^{2}} & ナ \frac{3}{2k^{2}} \\ ハ \frac{1}{2k} & マ \frac{3}{2k} & ヤ \frac{1}{k} & ラ \frac{2}{k} & ワ \frac{3}{k} \end{array}$

問題20の選択肢： $\displaystyle \begin{array}{lllll} ア \frac{1}{k^{2}e} & カ \frac{2}{k^{2}e} & サ \frac{3}{k^{2}e} & タ \frac{1}{2k^{2}e} & ナ \frac{3}{2k^{2}e} \\ ハ \frac{1}{2ke} & マ \frac{3}{2ke} & ヤ \frac{1}{ke} & ラ \frac{2}{ke} & ワ \frac{3}{ke} \end{array}$

III. $\triangle OA_{k}B_{k}$ の面積の最大値を $S_{k}$ とする。無限級数 $\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{\infty}S_{k}$ は， $\boxed{21}$ することになる。

問題21の選択肢： $\displaystyle \begin{array}{ll} ア \frac{\log 2}{e} に収束 & カ \frac{\log 3}{e} に収束 \\ サ \frac{\log 4}{e} に収束 & タ \frac{\log 2}{2e} に収束 \\ ナ \frac{\log 3}{2e} に収束 & ハ発散 \\ マ \frac{\log 2}{e^{2}} に収束 & ヤ \frac{2\log 2}{e^{2}} に収束 \\ ラ \frac{3\log 2}{e^{2}} に収束 & ワ \frac{4\log 2}{e^{2}} に収束 \end{array}$

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

接線の切片から面積関数を作って微分で最大を求め、その最大値の級数は調和級数との定数倍であることから発散を判定する。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

問題17： $\quad t=1\quad$ （カ） / 問題18： $\displaystyle \quad \frac{2}{e}\quad$ （カ） / 問題19： $\displaystyle \quad \frac1k\quad$ （ヤ） / 問題20： $\displaystyle \quad \frac{2}{ke}\quad$ （ラ） / 問題21：発散（ハ）

4解答

解答を見る途中式つきの解答

点 $P_k(t,e^{-kt})$ における接線の傾きは $-ke^{-kt}$ だから、接線は $y=e^{-kt}(1+kt-kx)$ である。よって $A_k=(t+1/k,0)$ 、 $B_k=(0,(1+kt)e^{-kt})$ となり、三角形の面積は $\displaystyle T_k(t)=\frac12(t+1/k)(1+kt)e^{-kt}.$ $u=kt>0$ と置けば $\displaystyle T_k(t)=\frac{(1+u)^2e^{-u}}{2k},\qquad \frac{dT_k}{du}=\frac{e^{-u}(1+u)(1-u)}{2k}.$ したがって $0<u<1$ で増加し、 $u>1$ で減少するので最大は $u=1$ 、すなわち $t=1/k$ のときであり、最大値は $2/(ke)$ である。 $k=1$ とすれば、問題17の $t$ は $1$ 、問題18の最大値は $2/e$ となる。また $S_k=2/(ke)$ だから $\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{\infty}S_k=\frac2e\sum\limits _{k=1}^{\infty}\frac1k$ である。調和級数の部分和は $\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{2^N}\frac1k \ge1+\sum\limits _{j=1}^{N}2^{j-1}\frac1{2^j} =1+\frac N2$ と下から評価でき、 $N$ を大きくすると無限に大きくなる。ゆえに問題21の級数は発散する。

この問題で使う考え方

指数関数のグラフ・増減
曲線の接線
指数・対数関数の微分
積の微分
総和記号と数列の和
数列の極限

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。