自治医科大学 2020年数学第2問解答・解説

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1問題

自治医科大学2020年度第2問

各設問について，与えられた選択肢の中から最も適当なものを一つ選べ。

2. $x(y+z)=35,\quad y(z+x)=32,\quad z(x+y)=27$ のとき， $\displaystyle \frac{(xyz)^{2}}{400}$ の値を求めよ。 $(x,y,z\text{ は実数とする})$

選択肢： $\begin{array}{lllll} ア 0 & カ 1 & サ 2 & タ 3 & ナ 4 \\ ハ 5 & マ 6 & ヤ 7 & ラ 8 & ワ 9 \end{array}$

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

$xy,yz,zx$ を新しい文字で置き、線形な連立方程式として解いて積を求める。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\boxed{9}\quad$ （選択肢ワ）

4解答

解答を見る途中式つきの解答

$p=xy,\ q=yz,\ r=zx$ とおくと、条件は $p+r=35,\qquad p+q=32,\qquad q+r=27$ となる。これらを加減すると $\displaystyle p=\frac{35+32-27}{2}=20,\qquad q=\frac{32+27-35}{2}=12,\qquad r=\frac{35+27-32}{2}=15.$ したがって $(xyz)^2=(xy)(yz)(zx)=pqr=20\cdot12\cdot15=3600$ であり、 $\displaystyle \frac{(xyz)^2}{400}=9.$

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