15自治医科大学 2020年 数学 第15問解答・解説

$\displaystyle J=\int_{0}^{2\pi}e^{3x}\cos(kx)\,dx$ とおく。部分積分を行うと、$\sin(2\pi k)=\sin 0=0$、$\cos(2\pi k)=\cos0=1$ より $$\displaystyle I=-\frac{k}{3}J,\qquad J=\frac{e^{6\pi}-1}{3}+\frac{k}{3}I$$ を得る。これらから $$\displaystyle (k^{2}+9)I=k(1-e^{6\pi}),\qquad kI=\frac{k^{2}}{k^{2}+9}(1-e^{6\pi}).$$ したがって $k\to\infty$ のとき $kI\to 1-e^{6\pi}$ であり、 $$S=e^{6\pi}+(1-e^{6\pi})=1.$$