12自治医科大学 2020年 数学 第12問解答・解説

直線 $x=t$ と楕円の交点は $$\displaystyle P\left(t,b\sqrt{1-\frac{t^{2}}{a^{2}}}\right),\qquad Q\left(t,-b\sqrt{1-\frac{t^{2}}{a^{2}}}\right)$$ である。したがって $PQ=2b\sqrt{1-t^{2}/a^{2}}$ であり、点 $A=(-a,0)$ から直線 $x=t$ までの距離は $t+a$ である。$u=t/a$ とおくと $-1<u<1$ で、三角形の面積は $$\displaystyle \frac12(t+a)PQ=ab(1+u)\sqrt{1-u^{2}}.$$ $1+u>0$ なので、この面積の最大化にはその2乗 $$(ab)^{2}(1+u)^{3}(1-u)$$ を考えればよい。定数 $(ab)^2$ は正であり、 $$\displaystyle \frac{d}{du}\bigl((1+u)^3(1-u)\bigr) =2(1+u)^2(1-2u)$$ は $\displaystyle u<\frac12$ で正、$\displaystyle u>\frac12$ で負である。よって最大値は $\displaystyle u=\frac12$、すなわち $t=a/2$ で得られ、 $$\displaystyle M=ab\left(1+\frac12\right)\sqrt{1-\frac14} =\frac{3\sqrt3}{4}ab.$$ したがって $$\displaystyle \frac{4\sqrt3}{ab}M=9.$$