4自治医科大学 2020年 数学 第4問解答・解説

倍角の公式を用いて式を変形すると、 $$\displaystyle f(x)=\frac{a+b}{2}+\frac{a-b}{2}\bigl(\cos 2x+\sin 2x\bigr)$$ となる。三角関数の相互関係から、 $$\bigl(\cos 2x+\sin 2x\bigr)^2 =1+2\sin 2x\cos 2x\leq 2$$ である。また、$\displaystyle x=\frac{\pi}{8}$ のとき $\cos 2x+\sin 2x=\sqrt{2}$、$\displaystyle x=\frac{5\pi}{8}$ のとき $\cos 2x+\sin 2x=-\sqrt{2}$ となる。したがって、この和の最大値・最小値はそれぞれ $\sqrt{2},-\sqrt{2}$ であり、 $$\displaystyle \max f(x)=\frac{a+b}{2}+\frac{|a-b|}{\sqrt{2}},\qquad \min f(x)=\frac{a+b}{2}-\frac{|a-b|}{\sqrt{2}}$$ である。よって最大値と最小値の和は $a+b$ に等しいから、 $$a+b=(3+\sqrt{7})+(3-\sqrt{7})=6$$ を得る。$a\neq b$ の条件のもとで上の最大値・最小値の差も正であり、与えられた二つの値と整合する。