3佐賀大学 2021年 数学 第3問解答・解説

(1) $\vec{a}=(1,3),\ \vec{b}=(3,-1)$ より $$|\vec{a}|^{2}=1^{2}+3^{2}=10,\qquad \vec{a}\cdot\vec{b}=1\cdot3+3\cdot(-1)=0,\qquad |\vec{b}|^{2}=3^{2}+(-1)^{2}=10$$ である。特に $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$ すなわち $\vec{a}\perp\vec{b}$ であることに注意する。

$\vec{p}=(\cos\theta)\vec{a}+(\sin\theta)\vec{b}$、$\vec{q}=(\cos^{2}\theta)\vec{a}+(\sin^{2}\theta)\vec{b}$ の内積を、内積の双線形性を用いて展開すると $$\vec{p}\cdot\vec{q} =\cos\theta\cos^{2}\theta\,|\vec{a}|^{2} +\cos\theta\sin^{2}\theta\,(\vec{a}\cdot\vec{b}) +\sin\theta\cos^{2}\theta\,(\vec{b}\cdot\vec{a}) +\sin\theta\sin^{2}\theta\,|\vec{b}|^{2}$$ ここで $\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}=0$ なので、真ん中の2項は消え $$\vec{p}\cdot\vec{q}=|\vec{a}|^{2}\cos^{3}\theta+|\vec{b}|^{2}\sin^{3}\theta=10\cos^{3}\theta+10\sin^{3}\theta=10(\cos^{3}\theta+\sin^{3}\theta)$$ を得る。

(2) $t=\sin\theta+\cos\theta$ を三角関数の合成により $$\displaystyle t=\sqrt{2}\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)$$ と表す。$0\leqq\theta<2\pi$ のとき $\displaystyle \theta+\dfrac{\pi}{4}$ は $\displaystyle \dfrac{\pi}{4}\le\theta+\dfrac{\pi}{4}<\dfrac{\pi}{4}+2\pi$ の範囲を動き、長さ $2\pi$ の角をちょうど1周するから、$\displaystyle \sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)$ は $-1$ から $1$ までのすべての値をとる。したがって $$-\sqrt{2}\leqq t\leqq\sqrt{2}$$ である（この範囲の任意の値は実際にある $\theta$ で実現される）。

次に $t^{2}=\sin^{2}\theta+2\sin\theta\cos\theta+\cos^{2}\theta=1+2\sin\theta\cos\theta$ より $$\displaystyle \sin\theta\cos\theta=\dfrac{t^{2}-1}{2}$$ を得る。また因数分解公式より $$\cos^{3}\theta+\sin^{3}\theta=(\sin\theta+\cos\theta)(\sin^{2}\theta-\sin\theta\cos\theta+\cos^{2}\theta) =t\left(1-\sin\theta\cos\theta\right)$$ ここに $\displaystyle \sin\theta\cos\theta=\dfrac{t^{2}-1}{2}$ を代入すると $$\displaystyle \cos^{3}\theta+\sin^{3}\theta=t\left(1-\dfrac{t^{2}-1}{2}\right)=t\cdot\dfrac{3-t^{2}}{2}=\dfrac{t(3-t^{2})}{2}$$ したがって(1)の結果とあわせて $$\displaystyle \vec{p}\cdot\vec{q}=10\cdot\dfrac{t(3-t^{2})}{2}=5t(3-t^{2})=-5t^{3}+15t$$ を得る（$-\sqrt2\leqq t\leqq\sqrt2$）。

(3) (2)の結果より、$f(t)=-5t^{3}+15t$（$-\sqrt{2}\leqq t\leqq\sqrt{2}$）の最大値・最小値を求めればよい。 $$f'(t)=-15t^{2}+15=-15(t^{2}-1)=-15(t-1)(t+1)$$ であり、$-\sqrt2\leqq t\leqq\sqrt2$ の範囲に $t=\pm1$ が含まれる（$1<\sqrt2$）。増減表は次のとおり。 $$\begin{array}{c|ccccccc} t & -\sqrt2 & \cdots & -1 & \cdots & 1 & \cdots & \sqrt2\\\hline f'(t) & & - & 0 & + & 0 & - & \\\hline f(t) & -5\sqrt2 & \searrow & -10 & \nearrow & 10 & \searrow & 5\sqrt2 \end{array}$$ （端点の値は $f(\sqrt2)=-5\cdot2\sqrt2+15\sqrt2=5\sqrt2$、$f(-\sqrt2)=-5\sqrt2$ と計算される。）

増減表より、$f(t)$ は $t=-1$ で極小値 $-10$、$t=1$ で極大値 $10$ をとり、これらは端点での値 $\pm5\sqrt2\,(\approx\pm7.07)$ より大きい（小さい）ので、区間全体での最大値は $10$（$t=1$）、最小値は $-10$（$t=-1$）である。

最後に、これらの $t$ の値を与える $\theta$ を求める。

$t=1$ のとき：$\sin\theta+\cos\theta=1$ すなわち $\displaystyle \sqrt2\sin\left(\theta+\dfrac\pi4\right)=1$ より $\displaystyle \sin\left(\theta+\dfrac\pi4\right)=\dfrac{1}{\sqrt2}$。$\displaystyle \dfrac\pi4\le\theta+\dfrac\pi4<\dfrac\pi4+2\pi$ の範囲でこれを満たすのは $\displaystyle \theta+\dfrac\pi4=\dfrac\pi4$ または $\displaystyle \theta+\dfrac\pi4=\dfrac{3\pi}{4}$、すなわち $$\displaystyle \theta=0,\ \dfrac{\pi}{2}$$ （検算：$\theta=0$ のとき $\sin0+\cos0=1$、$\theta=\pi/2$ のとき $\sin(\pi/2)+\cos(\pi/2)=1$、いずれも適する。）

$t=-1$ のとき：同様に $\displaystyle \sin\left(\theta+\dfrac\pi4\right)=-\dfrac{1}{\sqrt2}$ より $\displaystyle \theta+\dfrac\pi4=\dfrac{5\pi}{4}$ または $\displaystyle \dfrac{7\pi}{4}$、すなわち $$\displaystyle \theta=\pi,\ \dfrac{3\pi}{2}$$ （検算：$\theta=\pi$ のとき $\sin\pi+\cos\pi=-1$、$\theta=3\pi/2$ のとき $\sin(3\pi/2)+\cos(3\pi/2)=-1$、いずれも適する。）

別解による検算 直接 $\theta=0$ を代入すると $\vec p=\vec a,\ \vec q=\vec a$ となり $\vec p\cdot\vec q=|\vec a|^{2}=10$。$\theta=\pi/2$ では $\vec p=\vec b,\ \vec q=\vec b$ となり $\vec p\cdot\vec q=|\vec b|^{2}=10$。$\theta=\pi$ では $\vec p=-\vec a,\ \vec q=\vec a$ となり $\vec p\cdot\vec q=-|\vec a|^{2}=-10$。$\theta=3\pi/2$ では $\vec p=-\vec b,\ \vec q=\vec b$ となり $\vec p\cdot\vec q=-|\vec b|^{2}=-10$。いずれも(1)〜(3)の結果と一致し、答えの正しさを確認できる。

以上より $$\vec p\cdot\vec q\ \text{の最大値は}\ 10\ (\theta=0,\ \pi/2),\qquad \text{最小値は}\ -10\ (\theta=\pi,\ 3\pi/2)$$