2佐賀大学 2021年 数学 第2問解答・解説

（1） $\alpha=\sqrt{2}+\sqrt{3}$ の両辺を2乗すると $$\alpha^{2}=(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2}=2+2\sqrt{6}+3=5+2\sqrt{6}$$ であるから $$\displaystyle \boxed{\sqrt{6}=\frac{\alpha^{2}-5}{2}=\frac12\alpha^{2}-\frac52}\qquad(a=0,\,b=\tfrac12,\,c=0,\,d=-\tfrac52)$$

次に $\alpha^{3}=\alpha\cdot\alpha^{2}$ を計算する。 $$\alpha^{3}=(\sqrt2+\sqrt3)(5+2\sqrt6)=5\sqrt2+5\sqrt3+2\sqrt{12}+2\sqrt{18}$$ ここで $\sqrt{12}=2\sqrt3,\ \sqrt{18}=3\sqrt2$ であるから $$\alpha^{3}=5\sqrt2+5\sqrt3+2\cdot2\sqrt3+2\cdot3\sqrt2=(5+6)\sqrt2+(5+4)\sqrt3=11\sqrt2+9\sqrt3$$

$\alpha=\sqrt2+\sqrt3$ と $\alpha^{3}=11\sqrt2+9\sqrt3$ から，$\sqrt2,\sqrt3$ の一方を消去する組合せを作る。 $$\alpha^{3}-9\alpha=(11\sqrt2+9\sqrt3)-9(\sqrt2+\sqrt3)=2\sqrt2,\qquad 11\alpha-\alpha^{3}=11(\sqrt2+\sqrt3)-(11\sqrt2+9\sqrt3)=2\sqrt3$$ したがって $$\displaystyle \boxed{\sqrt2=\frac{\alpha^{3}-9\alpha}{2}=\frac12\alpha^{3}-\frac92\alpha}\qquad(a=\tfrac12,\,b=0,\,c=-\tfrac92,\,d=0)$$ $$\displaystyle \boxed{\sqrt3=\frac{11\alpha-\alpha^{3}}{2}=-\frac12\alpha^{3}+\frac{11}{2}\alpha}\qquad(a=-\tfrac12,\,b=0,\,c=\tfrac{11}2,\,d=0)$$

（検算：$\alpha=\sqrt2+\sqrt3\fallingdotseq3.14626$，$\alpha^{2}=5+2\sqrt6\fallingdotseq9.89898$，$\alpha^{3}=11\sqrt2+9\sqrt3\fallingdotseq31.1448$ を用いると，$\displaystyle \frac12\alpha^{3}-\frac92\alpha\fallingdotseq1.41421=\sqrt2$，$\displaystyle -\frac12\alpha^{3}+\frac{11}2\alpha\fallingdotseq1.73205=\sqrt3$，$\displaystyle \frac12\alpha^{2}-\frac52\fallingdotseq2.44949=\sqrt6$ となり，いずれも一致する。）

（2） まず $\alpha$ が満たす4次式を求める。（1）の $\alpha^{2}-5=2\sqrt6$ の両辺を2乗すると $$(\alpha^{2}-5)^{2}=(2\sqrt6)^{2}=24$$ すなわち $$\alpha^{4}-10\alpha^{2}+1=0 \qquad\cdots(\ast)$$

多項式 $x^{4}-10x^{2}+1$ を $x+1$ で割ると（多項式の除法により） $$x^{4}-10x^{2}+1=(x+1)(x^{3}-x^{2}-9x+9)-8$$ であることが分かる。実際 $$(x+1)(x^{3}-x^{2}-9x+9)=x^{4}-x^{3}-9x^{2}+9x+x^{3}-x^{2}-9x+9=x^{4}-10x^{2}+9$$ であり，$x^{4}-10x^{2}+9=(x^{4}-10x^{2}+1)+8$ だからこの等式は正しい。

この等式に $x=\alpha$ を代入し，$(\ast)$ すなわち $\alpha^{4}-10\alpha^{2}+1=0$ を用いると $$0=(\alpha+1)(\alpha^{3}-\alpha^{2}-9\alpha+9)-8$$ より $$(\alpha+1)(\alpha^{3}-\alpha^{2}-9\alpha+9)=8$$ $\alpha+1=\sqrt2+\sqrt3+1\neq0$ であるから，両辺を $\alpha+1$ で割って $$\displaystyle \boxed{\frac{1}{\alpha+1}=\frac{\alpha^{3}-\alpha^{2}-9\alpha+9}{8}=\frac18\alpha^{3}-\frac18\alpha^{2}-\frac98\alpha+\frac98}$$ （$\displaystyle a=\tfrac18,\,b=-\tfrac18,\,c=-\tfrac98,\,d=\tfrac98$）

（検算：直接の展開でも確認できる。$\alpha^{3}-\alpha^{2}-9\alpha+9=(11\sqrt2+9\sqrt3)-(5+2\sqrt6)-9(\sqrt2+\sqrt3)+9=2\sqrt2-2\sqrt6+4$ であり，これに $(\alpha+1)=(1+\sqrt2+\sqrt3)$ を掛けると $$(1+\sqrt2+\sqrt3)(4+2\sqrt2-2\sqrt6)=4+2\sqrt2-2\sqrt6+4\sqrt2+4-4\sqrt3+4\sqrt3+2\sqrt6-6\sqrt2=8$$ と，$\sqrt2,\sqrt3,\sqrt6$ の項がすべて相殺して定数 $8$ のみが残り，上の等式と一致する。また数値でも $\alpha+1\fallingdotseq4.14626$，$1/(\alpha+1)\fallingdotseq0.24118$ に対し，$\displaystyle \frac18\alpha^{3}-\frac18\alpha^{2}-\frac98\alpha+\frac98\fallingdotseq0.24119$ とほぼ一致する。）

（3） （1）で示した $$\displaystyle \sqrt2=\frac12\alpha^{3}-\frac92\alpha$$ を用いる。$\alpha$ が有理数であると仮定する。有理数は加減乗除について閉じているから，このとき $\alpha^{2}=\alpha\cdot\alpha$ および $\alpha^{3}=\alpha^{2}\cdot\alpha$ もすべて有理数であり，したがって $$\displaystyle \frac12\alpha^{3}-\frac92\alpha$$ は有理数同士の積と和・差のみからなる式であるから有理数である。ところが上の等式によりこの値は $\sqrt2$ に等しく，$\sqrt2$ は無理数であることが与えられている。これは矛盾である。

よって「$\alpha$ が有理数である」という仮定は誤りであり， $$\boxed{\alpha=\sqrt2+\sqrt3\ \text{は無理数である}}$$