2九州大学 2020年 数学 第2問解答・解説

解答 (1) $\omega=(1+\sqrt3\,i)/2$ とおくと、直接計算から $$\omega^2=\omega-1,\qquad \omega^3=-1,\qquad \omega^4=-\omega.$$ したがって $$0=f(\omega)=(b+c-1)\omega+(d-a-b).$$ $P=b+c-1$、$Q=d-a-b$ は整数であり、$\operatorname{Im}(P\omega+Q)=P\sqrt3/2=0$ より $P=0$。すると上式から $Q=0$ でもある。よって $$\boxed{c=1-b,\qquad d=a+b}.$$

(2) (1)を用いると $$f(x)=(x^2-x+1)\{x^2+(a+1)x+(a+b)\},$$ これは展開すれば元の係数と一致する。また $$f(1)=2a+b+2,\qquad f(-1)=3b.$$ まず $f(-1)$ の余りの条件から $$3b\equiv3\pmod7,\qquad 3b\equiv10\pmod{11},$$ すなわち $b\equiv1\pmod7$、$b\equiv7\pmod{11}$ を得る。$b=7k+1$ とおくと $7k\equiv6\pmod{11}$ なので $k\equiv4\pmod{11}$、したがって $b\equiv29\pmod{77}$。$|b|\le40$ より $b=29$。

これを $f(1)\equiv1\pmod7$、$f(1)\equiv10\pmod{11}$ に用いると $$2a+31\equiv1\pmod7,\qquad 2a+31\equiv10\pmod{11},$$ ゆえに $a\equiv6\pmod7$、$a\equiv6\pmod{11}$、すなわち $a\equiv6\pmod{77}$。$|a|\le40$ から $a=6$。したがって $c=-28,d=35$ であり、 $$f(x)=(x^2-x+1)(x^2+7x+35).$$ 実際、$f(1)=43$ は7で割ると1、11で割ると10、$f(-1)=87$ は7で割ると3、11で割ると10となる。

二つの二次方程式を解くと、 $$\displaystyle \boxed{x=\frac{1\pm\sqrt3\,i}{2},\qquad x=\frac{-7\pm\sqrt{91}\,i}{2}}$$ が解のすべてである。