4九州大学 2020年 数学 第4問解答・解説

4個のサイコロの全ての出方は $6^4=1296$ 通りである。各目が同様に確からしい。

(1) $X$ が25の倍数となるには、少なくとも2個のサイコロが5を出せばよい。5がちょうど2個、3個、4個出る場合の数は $$\displaystyle \binom42 5^2=150,\qquad \binom43 5=20,\qquad 1.$$ 従って $$\displaystyle P(X\text{ が25の倍数})=\frac{150+20+1}{1296}=\frac{19}{144}.$$

(2) 各目が積に与える素因数2の指数は、1,3,5では0、2,6では1、4では2である。積が4の倍数でない場合は指数の合計が0または1。 合計0は4個とも1,3,5のいずれかであり $3^4=81$ 通り。 合計1は、1個が2または6、他の3個が1,3,5であり $$\displaystyle \binom41\cdot2\cdot3^3=216$$ 通り。したがって $$\displaystyle P(X\text{ が4の倍数})=1-\frac{81+216}{1296}=\frac{999}{1296}=\frac{37}{48}.$$

(3) $100=2^2\cdot5^2$ なので、5が2個以上出ることに加え、素因数2の指数の合計が2以上必要である。 5がちょうど2個出る位置の選び方は $\displaystyle \binom42=6$ 通り。残り2個の目はそれぞれ $\{1,2,3,4,6\}$ から選ぶ。2の指数の合計が2以上となる組は、少なくとも一つが4である9通りと、4がなく両方が2または6である4通り、計13通り。よってこの場合は $6\cdot13=78$ 通り。 5がちょうど3個出る場合、残りの目は4である必要があり、$\displaystyle \binom43=4$ 通り。5が4個出る場合は2の指数が不足する。 従って $$\displaystyle P(X\text{ が100の倍数})=\frac{78+4}{1296}=\frac{41}{648}.$$