3九州大学 2020年 数学 第3問解答・解説

agraph{直交する3方向のベクトル} 位置ベクトルを $\mathbf a=\overrightarrow{OA},\mathbf b=\overrightarrow{OB},\mathbf c=\overrightarrow{OC}$ とおき、 $$\mathbf u=\mathbf b+\mathbf c-\mathbf a,\qquad \mathbf v=\mathbf c+\mathbf a-\mathbf b,\qquad \mathbf w=\mathbf a+\mathbf b-\mathbf c$$ とおく。直線 $\ell,m,n$ の方向ベクトルは、それぞれ $\displaystyle \frac12\mathbf u,\frac12\mathbf v,\frac12\mathbf w$ である。条件から $\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w$ は互いに垂直である。また $$\displaystyle \mathbf a=\frac{\mathbf v+\mathbf w}{2},\qquad \mathbf b=\frac{\mathbf w+\mathbf u}{2},\qquad \mathbf c=\frac{\mathbf u+\mathbf v}{2}.$$ $U=|\mathbf u|^2,V=|\mathbf v|^2,W=|\mathbf w|^2$ とおく。例えば $\displaystyle \overrightarrow{AB}=\mathbf b-\mathbf a=\frac12(\mathbf u-\mathbf v)$ であり、$\mathbf u\perp\mathbf v$ だから $4AB^2=U+V$ である。同様に他の辺についても計算すると $$U+V=4AB^2=20,\qquad V+W=4BC^2=12,\qquad W+U=4CA^2=16.$$ これらを解いて $$U=12,\qquad V=8,\qquad W=4.$$

agraph{(1)} $$\displaystyle \overrightarrow{OB}=\mathbf b=\frac{\mathbf u+\mathbf w}{2},\qquad \overrightarrow{CA}=\mathbf a-\mathbf c=\frac{\mathbf w-\mathbf u}{2}.$$ 直交性を使うと $$\displaystyle \overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{CA} =\frac{W-U}{4}=-2, \qquad |OB|^2=|CA|^2=\frac{U+W}{4}=4.$$ 求めるのは2直線のなす鋭角なので、内積の絶対値を用いて $$\displaystyle \cos\theta=\frac{|{-2}|}{|OB|\,|CA|}=\frac{2}{2\cdot2}=\frac12.$$ 従って $$\displaystyle \boxed{\theta=\frac{\pi}{3}}.$$

agraph{(2)} $\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w$ の向きにそれぞれ座標軸をとると、これらは互いに直交する。各軸方向の長さは $|\mathbf u|=2\sqrt3, |\mathbf v|=2\sqrt2, |\mathbf w|=2$ なので、上の頂点ベクトルの式から $$O=(0,0,0),\qquad A=(0,\sqrt2,1),\qquad B=(\sqrt3,0,1),\qquad C=(\sqrt3,\sqrt2,0)$$ となる。4頂点を通る球の中心を $S=(x,y,z)$ とする。$SO=SA$ を2乗して整理すると $$\displaystyle \sqrt2 y+z=\frac32.$$ 同様に $SO=SB$ および $SO=SC$ から $$\displaystyle \sqrt3 x+z=2,\qquad \sqrt3 x+\sqrt2 y=\frac52.$$ 第1式と第2式を足して第3式を引けば $2z=1$ なので $\displaystyle z=\frac12$。これを代入して $\displaystyle x=\frac{\sqrt3}{2}, y=\frac{\sqrt2}{2}$ を得る。したがって球の半径は $$\displaystyle R=SO=\sqrt{x^2+y^2+z^2} =\sqrt{\frac34+\frac12+\frac14} =\boxed{\frac{\sqrt6}{2}}.$$