2東海大学 2023年 1日目 数学 第2問解答・解説

・ 立方体の3辺に沿う $\vec a,\vec b,\vec c$ は互いに垂直な単位ベクトルである。$\overrightarrow{OD}=\vec a+\vec b$、$\overrightarrow{DF}=\vec c$ なので $$\overrightarrow{OL}=\vec a+\vec b+k\vec c.$$ 直線 $OL$ 上の点は $t(\vec a+\vec b+k\vec c)$ と表せる。面 $CEFG$ 上では $\vec c$ 方向の係数が1だから $tk=1$、すなわち $t=1/k$ である。よって $$\displaystyle \overrightarrow{OM}=\frac1k\vec a+\frac1k\vec b+\vec c,\qquad |\overrightarrow{OM}|=\sqrt{\frac1{k^2}+\frac1{k^2}+1}=\frac{\sqrt{k^2+2}}{k}.$$

・ $|\overrightarrow{OA}|=1$ かつ $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OM}=1/k$ なので $$\displaystyle \cos\angle AOM=\frac{1/k}{\sqrt{k^2+2}/k}=\frac1{\sqrt{k^2+2}}.$$ $OM$ のうち $OA$ に垂直な成分は $\displaystyle \frac1k\vec b+\vec c$ であり、その長さは $\sqrt{1+1/k^2}$。これを三角形 $OAM$ の高さとして用いると $$\displaystyle [OAM]=\frac12\sqrt{1+\frac1{k^2}}=\frac{\sqrt{k^2+1}}{2k}.$$ 平面 $OAM$ に垂直なベクトルとして $\vec c-k\vec b$ をとれる。実際、これは $\vec a$ と $\overrightarrow{OM}$ の両方に垂直で、長さは $\sqrt{k^2+1}$ である。したがって、点 $C$ から平面 $OAM$ までの距離は、$\overrightarrow{OC}=\vec c$ のこの単位法線方向の成分であり $$\displaystyle CH=\frac{\vec c\cdot(\vec c-k\vec b)}{\sqrt{k^2+1}}=\frac1{\sqrt{k^2+1}}.$$ よって四面体の体積は $$\displaystyle \frac13[OAM]\,CH=\frac13\cdot\frac{\sqrt{k^2+1}}{2k}\cdot\frac1{\sqrt{k^2+1}}=\frac1{6k}.$$

・ $N$ は線分 $OF$ 上にあるので $\overrightarrow{ON}=t(\vec a+\vec b+\vec c)$（$0<t\leq1$）とおける。さらに $$\displaystyle \overrightarrow{MN}=\left(t-\frac1k\right)\vec a+\left(t-\frac1k\right)\vec b+(t-1)\vec c.$$ $\overrightarrow{ON}\perp\overrightarrow{MN}$ と $\vec a,\vec b,\vec c$ の直交性から $$\displaystyle 0=\overrightarrow{ON}\cdot\overrightarrow{MN}=t\left(3t-\frac2k-1\right).$$ $N\ne O$ より $t>0$ であるから $\displaystyle t=\frac{k+2}{3k}$。$k>1$ なら $0<t<1$ で、確かに $N$ は線分 $OF$ 上にある。 三角形 $ABC$ は一辺 $\sqrt2$ の正三角形で、その面積は $\sqrt3/2$。また $\vec a+\vec b+\vec c$ は平面 $ABC$ の法線方向で、長さは $\sqrt3$ である。$A$ から $N$ へのベクトルのこの法線方向の成分は $$\displaystyle \frac{\overrightarrow{AN}\cdot(\vec a+\vec b+\vec c)}{\sqrt3}=\frac{3t-1}{\sqrt3}=\frac{2}{k\sqrt3}.$$ したがって四面体 $ABCN$ の体積は $$\displaystyle \frac13\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{2}{k\sqrt3}=\frac1{3k}.$$