1東海大学 2023年 1日目 数学 第1問解答・解説

・ 同じ文字を含む順列なので、8個の位置から2個を選んで文字 $b$ を置き、残る6個の位置から1個を選んで文字 $c$ を置けばよい。したがって $$\displaystyle \frac{8!}{5!2!}=\binom{8}{2}\binom{6}{1}=168.$$

・ $u=2^x$ とおくと $u>0$ であり、$u$ は $x$ とともに増加する。また $$y=8^x-3\cdot2^{x+3}+2=u^3-24u+2.$$ これを $u$ で微分すると $3u^2-24=3(u^2-8)$ である。よって $0<u<2\sqrt{2}$ で減少し、$u>2\sqrt{2}$ で増加するから、最小となるのは $u=2\sqrt{2}=2^{3/2}$ のときである。したがって $\displaystyle x=\frac{3}{2}$。

・ 余弦定理より $$\displaystyle \cos A=\frac{8^2+7^2-5^2}{2\cdot8\cdot7}=\frac{11}{14},\qquad \sin A=\frac{5\sqrt{3}}{14}.$$ したがって三角形 $ABC$ の面積は $\displaystyle \frac12\cdot8\cdot7\sin A=10\sqrt{3}$ である。内接円の半径を $r$ とすると、三角形の面積を3つの小三角形に分けて $\displaystyle 10\sqrt{3}=\frac12r(8+5+7)$ より $r=\sqrt{3}$。また $C$ から $AB$ への高さを $h$ とすると $h=2\cdot10\sqrt{3}/8=5\sqrt{3}/2$ である。角の二等分線の定理から $AD:DB=AC:CB=7:5$ なので $AD/AB=7/12$。$I$ から $AB$ への距離は $r$ だから $$\displaystyle \frac{[ADI]}{[ABC]}=\frac{AD\,r}{AB\,h}=\frac{7}{12}\cdot\frac{\sqrt{3}}{5\sqrt{3}/2}=\frac{7}{30}.$$

・ 被積分関数を展開し、原始関数を用いて計算すると $$\displaystyle \int_{-1}^{2}(x+2)(x-3)\,dx=\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-6x\right]_{-1}^{2}=-\frac{34}{3}-\frac{31}{6}=-\frac{33}{2}.$$

・ $A,B,C,D$ はすべて鋭角であるから、各正弦・余弦は正である。条件から $\sin D=\sin B/\sin A$ であり、さらに $$\sin^2 A-\sin^2 B=\cos^2 B-\cos^2 A=\cos^2 B\sin^2 C.$$ よって $\cos D=\cos B\sin C/\sin A$。したがって $$\displaystyle \sin C\tan D=\sin C\cdot\frac{\sin D}{\cos D}=\tan B.$$ また $\cos A=\cos B\cos C$ を用いると $$\displaystyle \tan A\cos D=\frac{\sin A}{\cos A}\cdot\frac{\cos B\sin C}{\sin A}=\tan C.$$

・ $m=\sqrt{n^2+63}$ とおくと、$m,n$ は自然数で $m>n$、かつ $$(m-n)(m+n)=m^2-n^2=63.$$ 正の奇数の因数の組で $m-n<m+n$ となるものは $(1,63),(3,21),(7,9)$ であり、それぞれ $n=(m+n-(m-n))/2$ は $31,9,1$ となる。いずれも条件を満たすので、該当する $n$ は3個。

・ 対数の真数条件を合わせると $-1<x<1$ である。また $\log_{1/2023}t=-\log_{2023}t$ だから、方程式は $$\displaystyle \log_{2023}\frac{11-2x}{1-x^2}=\log_{2023}\frac{x+2}{(x+1)^2}$$ となる。底 $2023$ は1より大きいので真数を等しくできる。定義域内で $x+1>0$ だから $x+1$ を約して $$(11-2x)(x+1)=(1-x)(x+2),\qquad x^2-10x-9=0.$$ 解は $x=5\pm\sqrt{34}$ であり、$-1<x<1$ を満たすのは $x=5-\sqrt{34}$ だけである。