1北里大学 2016年 数学 第1問解答・解説

(1) 解と係数の関係より $$\sin\theta+\cos\theta=\sqrt7\,a,\qquad \sin\theta\cos\theta=3a^3.$$ したがって $$1=\sin^2\theta+\cos^2\theta =(\sin\theta+\cos\theta)^2-2\sin\theta\cos\theta =7a^2-6a^3,$$ ゆえに $$(a-1)(3a+1)(2a-1)=0.$$ $a=1$ のとき、与えられた二次方程式の判別式は $7-12=-5<0$ となり、実数の解をもたないので除く。$\displaystyle a=-\frac13,\frac12$ のときの解はそれぞれ $$\displaystyle \frac{-\sqrt7+\sqrt{11}}6,\ \frac{-\sqrt7-\sqrt{11}}6, \qquad \frac{\sqrt7+1}4,\ \frac{\sqrt7-1}4$$ であり、いずれも実数で、2解の平方和は $1$ である。よってそれぞれを $\sin\theta,\cos\theta$ とする実数 $\theta$ が存在する。小さい順に $$\displaystyle \boxed{\text{ア}=-\frac13,\quad \text{イ}=\frac12}.$$ また $\displaystyle 0\leq\theta\leq\frac{\pi}{4}$ では $\sin\theta,\cos\theta\geq0$ なので積が負になる $\displaystyle a=-\frac13$ は除かれる。$\displaystyle a=\frac12$ の2解はともに正で、$\sin\theta\leq\cos\theta$ より $$\displaystyle \boxed{\text{ウ}=\frac{\sqrt7-1}{4}}.$$

(2) (i) $x+y+z=9$ の非負整数解は、9個の玉と2本の仕切りを並べる方法に対応するから $$\displaystyle \binom{11}{2}=55.$$ よって $\boxed{\text{エ}=55}$。

(ii) $w=9-(x+y+z)$ とおくと、$w$ も非負整数で、$x+y+z+w=9$ である。したがって $$\displaystyle \binom{12}{3}=220$$ 通りであり、$\boxed{\text{オ}=220}$。

(iii) 3数を小さい順に $p<q<r$ と並べ、 $$p=u,\quad q=u+1+v,\quad r=u+2+v+w \qquad (u,v,w\geq0)$$ とおく。このとき $p+q+r\leq9$ は $3u+2v+w\leq6$ と同値である。$u=0$ のときは $v=0,1,2,3$ に対する $w$ の個数が順に $7,5,3,1$ 個で計16個、$u=1$ のときは $v=0,1$ に対して $4,2$ 個で計6個、$u=2$ のときは1個である。$u\geq3$ は不可能だから、順序を無視した組は $16+6+1=23$ 個である。各組には異なる順序が $3!=6$ 通りあるので $$\boxed{\text{カ}=23\cdot6=138}.$$

(3) $x$ の位置で縦に切ると、三角形内の線分は $0\leq y\leq1-x$ である。これを $y=a$ のまわりに回転する。

$\displaystyle 0\leq a<\frac12$ のとき、$0\leq x\leq1-2a$ では上側の端までの距離 $1-x-a$ が大きく、断面は半径 $1-x-a$ の円盤となる。$1-2a\leq x\leq1-a$ では半径 $a$ の円盤、$1-a\leq x\leq1$ では外半径 $a$、内半径 $x+a-1$ の円環となる。よって $$\displaystyle \begin{aligned} \frac{V(a)}{\pi} &=\int_0^{1-2a}(1-x-a)^2\,dx +\int_{1-2a}^{1-a}a^2\,dx +\int_{1-a}^{1}\{a^2-(x+a-1)^2\}\,dx\\ &=\frac{(1-a)^3-a^3}{3}+a^3+\frac{2a^3}{3} =\frac{(1-a)^3+4a^3}{3}. \end{aligned}$$ したがって $\displaystyle \boxed{\text{キ}=\frac{\pi}{3}(1-a)^3+\frac{4\pi}{3}a^3}$。

$\displaystyle \frac12\leq a\leq1$ のとき、$0\leq x\leq1-a$ では半径 $a$ の円盤、$1-a\leq x\leq1$ では外半径 $a$、内半径 $x+a-1$ の円環となる。したがって $$\displaystyle \frac{V(a)}{\pi}=a^2(1-a)+\int_{1-a}^{1}\{a^2-(x+a-1)^2\}\,dx =a^2(1-a)+\frac{2a^3}{3} =a^2-\frac{a^3}{3},$$ ゆえに $\displaystyle \boxed{\text{ク}= \pi a^2-\frac{\pi}{3}a^3}$。

前半の導関数は $V'(a)=\pi(3a-1)(a+1)$ なので、$\displaystyle 0\leq a<\frac12$ では $\displaystyle a=\frac13$ で最小となり、 $$\displaystyle V\!\left(\frac13\right)=\frac{4\pi}{27}.$$ 後半では $V'(a)=\pi a(2-a)>0$ だから増加し、$a=1$ で最大値 $\displaystyle \frac{2\pi}{3}$ をとる。2つの式は $\displaystyle a=\frac12$ で一致するため、全体の値域は $$\displaystyle \boxed{\text{ケ}:\ \frac{4\pi}{27}\le V(a)\le\frac{2\pi}{3}}.$$

(4) 正四面体の各辺は2、各面は正三角形だから $$|\vec a|^2=|\vec b|^2=|\vec c|^2=4,\qquad \vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec c=\vec c\cdot\vec a=2.$$ $\displaystyle \overrightarrow{CM}=\frac12\vec a-\vec c$、$\displaystyle \overrightarrow{CN}=\frac12\vec b-\vec c$ より $$\displaystyle \overrightarrow{CM}\cdot\overrightarrow{CN} =\frac14\vec a\cdot\vec b-\frac12\vec a\cdot\vec c -\frac12\vec b\cdot\vec c+|\vec c|^2=\frac52,$$ また $CM^2=CN^2=3$ である。したがって $$\displaystyle \boxed{\text{コ}=\cos\angle MCN=\frac{5}{6}}.$$

$\overrightarrow{OH}=\vec h=u\vec a+v\vec b+w\vec c$ とおく。$\vec h$ は平面 $MNC$ に垂直なので、平面内の方向ベクトル $\overrightarrow{MN}=(\vec b-\vec a)/2$、$\overrightarrow{MC}=\vec c-\vec a/2$ に垂直であり、 $$\vec h\cdot(\vec b-\vec a)=0,\qquad \vec h\cdot(2\vec c-\vec a)=0.$$ 内積を代入すると $u=v$、$v=-3w$ となるから、$\vec h=t(-3\vec a-3\vec b+\vec c)$ と書ける。$\vec q=-3\vec a-3\vec b+\vec c$ とおくと $$\vec q\cdot\vec a=-16,\qquad |\vec q|^2=88.$$ 平面 $MNC$ は法線ベクトル $\vec q$ をもち、点 $M$ を通るから、その方程式は $\vec q\cdot\vec X=\vec q\cdot\vec M=-8$ である。$H=t\vec q$ を代入し、$O$ はこの平面上にないので $t\ne0$ として $$\displaystyle 88t=-8,\qquad t=-\frac1{11}.$$ よって $$\displaystyle \boxed{\overrightarrow{OH}=\frac3{11}\vec a+\frac3{11}\vec b-\frac1{11}\vec c}, \qquad \boxed{\text{サ}=\frac3{11},\ \text{シ}=\frac3{11},\ \text{ス}=\frac1{11}}.$$ 平面 $ABC$ 上の点の $\vec a,\vec b,\vec c$ の係数の和は1である。$\overrightarrow{OH}$ の係数の和は $5/11$ だから、$\displaystyle F=\frac{11}{5}H$ であり、$\displaystyle HF=(\frac{11}{5}-1)OH=\frac65OH$。したがって $$\displaystyle \boxed{\text{セ}=\frac{OH}{HF}=\frac56}.$$