3北里大学 2016年 数学 第3問解答・解説

(1) $P(a,b)$ が双曲線上にあるから $a^2/2-b^2=1$ である。$b\ne0$ のとき、$P$ を通る傾き $k$ の直線を $$y-b=k(x-a)$$ とおく。これを双曲線の式に代入すると $$\displaystyle \frac{x^2}{2}-\{b+k(x-a)\}^2-1 =(x-a)\left\{\frac{x+a}{2}-k\bigl(2b+k(x-a)\bigr)\right\}=0.$$ 接線では $x=a$ が重解となるので、第2因子も $x=a$ で0となり、$a-2bk=0$、すなわち $k=a/(2b)$ である。したがって接線は $$\displaystyle y-b=\frac{a}{2b}(x-a) \quad\text{すなわち}\quad \frac{ax}{2}-by=\frac{a^2}{2}-b^2=1.$$ $b=0$ のときは $a=\sqrt2$ である。直線 $x=a$ を双曲線に代入すると $$y^2=0$$ となるから、接線は $x=\sqrt2$ である。これは $\displaystyle \frac{ax}{2}=1$ と一致する。よって常に $$\displaystyle \boxed{l:\ \frac{ax}{2}-by=1}.$$

(2) $l$ の方向ベクトルは $(2b,a)$ である。双曲線上の点 $Q(c,d)$ における接線 $m$ は、(1) より $$\displaystyle \frac{cx}{2}-dy=1$$ である。その方向ベクトルは $$(2d,c)$$ である。2直線が垂直である条件は方向ベクトルの内積が0となることだから $$(2b,a)\cdot(2d,c)=4bd+ac=0.$$ $a>0$ より $c=-4bd/a$ であり、これを $c^2/2-d^2=1$ に代入すると $$\displaystyle d^2\left(\frac{8b^2}{a^2}-1\right)=1.$$ 実数 $c,d$ が存在するための必要十分条件は $8b^2>a^2$ である。ここで $b^2=a^2/2-1$ を用いると $$\displaystyle 8\left(\frac{a^2}{2}-1\right)>a^2 \quad\text{すなわち}\quad a^2>\frac83.$$ $a>0$ なので求める条件は $$\displaystyle \boxed{a>\sqrt{\frac83}}.$$

(3) (2) の条件のもとで $d>0$ とする。上の関係から $$\displaystyle d=\frac{a}{\sqrt{3a^2-8}},\qquad c=-\frac{4bd}{a}.$$ 座標による三角形の面積の公式より $$\displaystyle [\triangle OPQ]=\frac12|ad-bc| =\frac{d}{2a}(a^2+4b^2) =\frac{3a^2-4}{2\sqrt{3a^2-8}},$$ ここで $b^2=a^2/2-1$ を用いた。$u=a^2$ とおくと $u>8/3$ であり、面積を $f(u)$ とすれば $$\displaystyle f(u)=\frac{3u-4}{2\sqrt{3u-8}},\qquad f'(u)=\frac{9(u-4)}{4(3u-8)^{3/2}}.$$ したがって $f$ は $8/3<u<4$ で減少し、$u>4$ で増加する。最小となるのは $u=4$、すなわち $$\boxed{a=2}$$ であり、そのときの最小面積は $2$ である。