4日本大学 2018年 数学 第4問解答・解説

放物線 $y=4x^2$ の導関数は $8x$ なので, $P,Q$ における接線はそれぞれ $y=8ax-4a^2$, $y=8bx-4b^2$ である。　 (1) 2直線の傾きの積が垂直条件より $(8a)(8b)=-1$, したがって $\displaystyle ab=-\frac1{64}$。交点の座標を求めると, $8ax-4a^2=8bx-4b^2$ から $\displaystyle x_R=\frac{a+b}{2}$（$a\ne b$）であり, $\displaystyle y_R=8a\cdot\frac{a+b}{2}-4a^2=4ab=-\frac1{16}$。　 (2) 線分 $PQ$ の傾きは $\displaystyle \frac{4b^2-4a^2}{b-a}=4(a+b)$ だから, 直線 $PQ$ は $y=4(a+b)x-4ab$。$d=b-a>0$ とおくと $PQ=d\sqrt{1+16(a+b)^2}$。交点 $\displaystyle R=(\frac{a+b}{2},4ab)$ から直線 $PQ$ までの距離は $$\displaystyle \frac{\left|4(a+b)\cdot\frac{a+b}{2}-4ab-4ab\right|}{\sqrt{1+16(a+b)^2}}=\frac{2(a+b)^2-8ab}{\sqrt{1+16(a+b)^2}}=\frac{2(b-a)^2}{\sqrt{1+16(a+b)^2}}.$$ よって三角形の面積は $\displaystyle \frac12\cdot PQ\cdot\text{高さ}=(b-a)^3$ であり, $F=b-a$ とすればよい。　 (3) $\displaystyle (b-a)^2=(a+b)^2-4ab=(a+b)^2+\frac1{16}\geq\frac1{16}$。$b-a>0$ なので $\displaystyle b-a\geq\frac14$, よって面積は $\displaystyle (b-a)^3\geq\frac1{64}$。等号は $a+b=0$ のときに成立し, $\displaystyle ab=-\frac1{64}$ と合わせると $\displaystyle a=-\frac18,\ b=\frac18$ で実際に達成される。