2新潟大学 2013年 数学 第2問解答・解説

正方形を $A=(0,0),\ B=(1,0),\ C=(1,1),\ D=(0,1)$ と座標化する。$P$ は $B,C$ を除いた辺 $BC$ 上にあり、$x=BP$ だから $0<x<1$ で、$P=(1,x)$ である。$\overrightarrow{AP}=(1,x)$ に垂直な方向ベクトルとして $(-x,1)$ をとれる。$P$ を通る垂線上の点を $P+t(-x,1)$ とすると、その $y$ 座標が1となるのは $t=1-x$ のときなので、 $$Q=(1-x(1-x),1)=(1-x+x^2,1).$$ また $0<x<1$ より $\displaystyle 0<x(1-x)\le\frac14$ であり、$Q$ は辺 $CD$ 上にある。 （1）$C=(1,1)$ より $CP=1-x$、$CQ=1-(1-x+x^2)=x(1-x)$。$CP\perp CQ$ なので、 $$\displaystyle S=\frac12 CP\cdot CQ=\frac12 x(1-x)^2.$$ （2）$0<x<1$ で $$\displaystyle S'(x)=\frac12(1-x)(1-3x).$$ したがって $S$ は $\displaystyle 0<x<\frac13$ で増加し、$\displaystyle \frac13<x<1$ で減少する。よって最大となるのは $\displaystyle x=\frac13$ のときで、 $$\displaystyle S_{\max}=S\!\left(\frac13\right)=\frac12\cdot\frac13\cdot\left(\frac23\right)^2=\frac{2}{27}.$$ （3） $$L^2=AQ^2=(1-x+x^2)^2+1.$$ ここで $$\displaystyle 1-x+x^2=\left(x-\frac12\right)^2+\frac34\ge\frac34,$$ 等号は $\displaystyle x=\frac12$ のときに成り立つ。したがって $L^2$（従って $L$）は $\displaystyle x=\frac12$ で最小となり、 $$\displaystyle L_{\min}=\sqrt{1+\left(\frac34\right)^2}=\frac54.$$