5新潟大学 2013年 数学 第5問解答・解説

与えられた等式で $x=0$ とすると $$(f(0)-1)f(y)=0\qquad(\text{すべての実数 }y).$$ もし $f(0)\ne1$ なら $f(y)=0$ がすべての $y$ で成り立つが、元の等式に $x=y=\pi/2$ を代入すると $0=1$ となり矛盾する。したがって $$f(0)=1.$$

次に、元の等式を $y$ で微分すると $$f(x)f'(y)-f'(x+y)=\sin x\cos y.$$ ここで $y=0$ とし、条件 $f'(0)=0$ を使えば $$-f'(x)=\sin x,\qquad\therefore\quad f'(x)=-\sin x.$$ よって $(f(x)-\cos x)'=0$ であり、$f(x)-\cos x$ は定数である。$f(0)=1=\cos0$ から $$f(x)=\cos x.$$

区間 $0\le x\le\pi/3$ では $\cos x>0$ なので、 $$\displaystyle \int_0^{\pi/3}\frac{dx}{f(x)} =\int_0^{\pi/3}\frac{dx}{\cos x}.$$ ここで $\log\{(1+\sin x)/\cos x\}$ の導関数は $$\displaystyle \frac{\cos x}{1+\sin x}+\frac{\sin x}{\cos x}=\frac1{\cos x}.$$ 従って $$\displaystyle \int_0^{\pi/3}\frac{dx}{\cos x}=\left[\log\frac{1+\sin x}{\cos x}\right]_0^{\pi/3}=\log(2+\sqrt3).$$ $\cos x\cos y-\cos(x+y)=\sin x\sin y$ なので求めた関数は元の関係も満たす。