2秋田大学 2013年 数学 第2問解答・解説

$0\le x\le\pi$ とする。

(i) $k=2$ のとき $f(x)=e^x\sin9x$ である。$e^x>0$ より共有点の $x$ 座標は $$\sin9x=\sin x \text{すなわち} 2\cos5x\sin4x=0$$ を満たす。$\sin4x=0$ から $$\displaystyle x=0,\ \frac\pi4,\ \frac\pi2,\ \frac{3\pi}4,\ \pi,$$ $\cos5x=0$ から $$\displaystyle x=\frac\pi{10},\ \frac{3\pi}{10},\ \frac\pi2,\ \frac{7\pi}{10},\ \frac{9\pi}{10}$$ を得る。共通する $\pi/2$ を重複なく並べると $$\displaystyle \boxed{x=0,\ \frac\pi{10},\ \frac\pi4,\ \frac{3\pi}{10},\ \frac\pi2,\ \frac{7\pi}{10},\ \frac{3\pi}4,\ \frac{9\pi}{10},\ \pi.}$$

(ii) $k=-1$ では $f(x)=-e^x\sin3x$ だから $$g(x)-f(x)=e^x(\sin x+\sin3x)=2e^x\sin2x\cos x=4e^x\sin x\cos^2x\ge0 \quad(0\le x\le\pi).$$ 従って求める面積は $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^\pi(g(x)-f(x))\,dx &=\int_0^\pi e^x(\sin x+\sin3x)\,dx\\ &=\left[e^x\left(\frac{\sin x-\cos x}{2} +\frac{\sin3x-3\cos3x}{10}\right)\right]_0^\pi\\ &=\boxed{\frac45(e^\pi+1)}. \end{aligned}$$

(iii) 任意の整数 $k$ に対して、$x=\pi/2$ とおくと $$\displaystyle (4k+1)x=2k\pi+\frac\pi2,$$ よって $f(x)=g(x)=e^{\pi/2}$ である。また $$f'(x)=e^x\{\sin((4k+1)x)+(4k+1)\cos((4k+1)x)\}, \qquad g'(x)=e^x(\sin x+\cos x)$$ なので $$\displaystyle f'\left(\frac\pi2\right)=g'\left(\frac\pi2\right)=e^{\pi/2}.$$ 両曲線は共有点 $\displaystyle \left(\frac\pi2,e^{\pi/2}\right)$ で同じ接線をもち、その方程式は $$\displaystyle \boxed{y-e^{\pi/2}=e^{\pi/2}\left(x-\frac\pi2\right)}.$$

(i) は三角関数の和積公式で交点条件を因数分解する。(ii) は差の符号を区間全体で判定して定積分を計算する。(iii) は x=π/2 を選び、値と導関数が同じになることを示す。