秋田大学 2013年数学第3問解答・解説

1問題

秋田大学2013年度第3問

空間内の点 P(1, -1, -2) を出発して, 3 点 Q, R, S で向きを変えてもとの点 P に戻る折れ線 PQRSP を, $\overrightarrow{PQ} = (-2, 4, 5)$ , $\overrightarrow{QR} = (2, 1, 1)$ , $\overrightarrow{RS} = (-3, -4, -2)$ となるように定める。このとき, 次の問いに答えよ。

(i) 点Q、R、Sの座標をそれぞれ求めよ。

(ii) 平面上の点 P′, Q′, R′, S′ を, それぞれ点 P, Q, R, S の x, y 座標を取り出して得られる点とする。例えば, 点 P′ の座標は (1, -1) となる。このとき, 平面上の線分 P′Q′ と線分 R′S′ の交点 M′ を求めよ。

(iii) 線分 PQ 上の点 $M_{1}$ と線分 RS 上の点 $M_{2}$ を, $M_{1}$ の x, y 座標が $M_{2}$ の x, y 座標とそれぞれ等しくなる点とする。2 点 $M_{1}$ , $M_{2}$ 間の距離を求めよ。

(iv) 空間内の点 X が, 点 Q を出発して点 P まで, Q → R → S → P の順に折れ線上を動く。点 X から直線 PQ 上に垂線を引き, その交点を H とする。点 H が $\overrightarrow{PQ}$ と同じ向きに動いた距離の総和と, 逆の向きに動いた距離の総和を, それぞれ求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(i) $\quad Q=(-1,3,3),\space{}R=(1,4,4),\space{}S=(-2,0,2)\quad$ 。 (ii) $\quad M'=(-1/2,2)\quad$ 。 (iii) $\quad |M_1M_2|=5/4\quad$ 。 (iv) 同方向 $\quad \sqrt5/3\quad$ 、逆方向 $\quad 10\sqrt5/3\quad$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(i) $P=(1,-1,-2)$ だから $Q=P+\overrightarrow{PQ}=(-1,3,3),\quad R=Q+\overrightarrow{QR}=(1,4,4),\quad S=R+\overrightarrow{RS}=(-2,0,2)。$

(ii) $P'Q'$ 上を $(1-2s,-1+4s)$ 、 $R'S'$ 上を $(1-3t,4-4t)$ （ $0\le s,t\le1$ ）と表す。交点では $2s=3t$ 、 $s+t=5/4$ 。これを解くと $s=3/4,t=1/2$ で、 $M'=(-1/2,2)。$

(iii) 対応する空間点は $\displaystyle M_1=P+\frac34\overrightarrow{PQ}=(-1/2,2,7/4),\qquad M_2=R+\frac12\overrightarrow{RS}=(-1/2,2,3)。$ したがって距離は $3-7/4=5/4$ 。

(iv) $d=\overrightarrow{PQ}=(-2,4,5)$ とすると $|d|^2=45$ 。 $X$ から直線 $PQ$ への垂線の足を $H=P+\lambda d$ とおけば、 $\displaystyle \lambda=\frac{(X-P)\cdot d}{45}。$ 辺 $QR,RS,SP$ 上での $\lambda$ の増分は、各移動ベクトルと $d$ の内積を45で割り、それぞれ $1/9,-4/9,-2/3$ 。よって $H$ が $\overrightarrow{PQ}$ と同方向へ動く距離は $|d|/9=\sqrt5/3$ 、逆方向へ動く距離は $(4/9+2/3)|d|=10\sqrt5/3$ 。

答え

(i) $Q=(-1,3,3),\ R=(1,4,4),\ S=(-2,0,2)$ 。 (ii) $M'=(-1/2,2)$ 。 (iii) $|M_1M_2|=5/4$ 。 (iv) 同方向 $\sqrt5/3$ 、逆方向 $10\sqrt5/3$ 。

この問題で使う考え方

空間ベクトルの成分計算
内積による正射影
線分の媒介変数表示

1問題

2答え

3解答

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