III順天堂大学 2013年 数学 第III問解答・解説

(1) 直線$y=ax+b$，$y=cx+d$の方向ベクトルはそれぞれ$(1,a)$，$(1,c)$である。したがって，2直線が直交するための必要十分条件は方向ベクトルの内積が0となることであり， $$(1,a)\cdot(1,c)=1+ac=0.$$ よって必要十分条件は$ac=-1$である。

(2) 放物線上の相異なる2点$(u,u^2)$，$(v,v^2)$を結ぶ直線の傾きは $$\displaystyle \frac{v^2-u^2}{v-u}=u+v$$ である。$B$が$O,A$と異なるとき，直線$BO$，$BA$の傾きはそれぞれ$b-1$，$a+b$である。これらが直交する条件は $$(b-1)(a+b)=-1,$$ すなわち $$b^2+(a-1)b+1-a=0$$ である。この二次方程式が実数解をもつ条件は，判別式について $$\Delta=(a-1)^2-4(1-a)=(a-1)(a+3)\geq0,$$ したがって$a\leq-3$または$a\geq1$である。

ただし，得られた点が$O$または$A$と一致しないことを確認する。$b=a$を左辺に代入すると $$\displaystyle a^2+(a-1)a+1-a=2\left(a-\frac12\right)^2+\frac12>0$$ なので，解が$A$と一致することはない。また，$b=-1$が解となるのは$\displaystyle a=\frac32$のときだけであるが，このとき二次方程式は$\displaystyle (b+1)(b-\frac12)=0$となり，もう一つの解$\displaystyle b=\frac12$は有効である。よって求める条件は $$a\leq-3\quad\text{または}\quad a\geq1$$ である。

(3) $B(b,b^2)$を追加点とし，直角の頂点ごとに可能な$B$の個数を数える。まず$a=-1$では$A=O$となり三角形ができないので，以下では$a\ne-1$とする。

直角が$O$にあるとき，傾きの積から $$(a-1)(b-1)=-1.$$ $a\ne1$なら候補は$\displaystyle b=1-\frac1{a-1}$の1つである。これは$b=-1$となる$\displaystyle a=\frac32$の場合を除けば有効であり，$b=a$となるには$(a-1)^2=-1$が必要となるため，そのような実数$a$はない。したがって，直角が$O$にある三角形の個数は，$\displaystyle a\ne-1,\ a\ne1,\ a\ne\frac32$なら1個，それ以外では0個である。

直角が$A$にあるときは $$(a-1)(a+b)=-1.$$ $a\ne1$なら候補は$\displaystyle b=-a-\frac1{a-1}$の1つである。これが$b=a$となる条件は$2a^2-2a+1=0$，$b=-1$となる条件は$(a-1)^2=-1$で，いずれも実数解をもたない。よって$a\ne-1,1$なら1個，$a=-1,1$なら0個である。

直角が$B$にあるときは(2)の二次方程式を用いる。判別式により，$a<-3$または$a>1$なら2個，$a=-3,1$なら1個，$-3<a<1$なら0個の実数解をもつ。解が$A$と一致することはなく，$\displaystyle a=\frac32$では2解の一方$b=-1$が$O$と一致するので，有効な点は1個だけである。

以上の個数をまとめると次のとおりである。 $$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c} a&\text{直角が}O&\text{直角が}A&\text{直角が}B&\text{合計}\\ \hline a<-3&1&1&2&4\\ a=-3&1&1&1&3\\ -3<a<1,\ a\ne-1&1&1&0&2\\ a=-1&0&0&0&0\\ a=1&0&0&1&1\\ 1<a<\frac32&1&1&2&4\\ a=\frac32&0&1&1&2\\ a>\frac32&1&1&2&4 \end{array}$$ したがって，直角三角形が4つできる条件は $$\displaystyle a<-3,\qquad 1<a<\frac32,\qquad \frac32<a$$ のいずれかである。