2聖マリアンナ医科大学 2019年 数学 第2問解答・解説

第2問 直線$y=tx$は$tx-y=0$と書けるので、点$(u,v)$からの距離は $$\displaystyle \frac{|tu-v|}{\sqrt{1+t^2}}$$ である。従って $$\displaystyle d_1^2=\frac{t^2}{1+t^2},\qquad d_2^2=\frac{1}{1+t^2},\qquad d_3^2=\frac{(at-b)^2}{1+t^2},$$ よって $$\displaystyle f(t)=1+\frac{(at-b)^2}{1+t^2}.$$ (1) $t=0$を代入すると$f(0)=1+b^2$である。また分子・分母を$t^2$で割ると $$\displaystyle \lim\limits _{t\to\infty}f(t)=1+a^2.$$ 従って$\boxed{\text{キ}=1+b^2,\qquad \text{ク}=1+a^2}$。 (2) 微分すると $$\displaystyle f'(t)=\frac{2(at-b)(a+bt)}{(1+t^2)^2}.$$ $a,b>0$なので$f'(t)=0$となるのは$t=-a/b$または$t=b/a$であり、前者が負、後者が正である。従って小さい順に $$\displaystyle \boxed{\text{ケ}=-\frac ab,\qquad \text{コ}=\frac ba}.$$ (3) $(at-b)^2\ge0$より$f(t)\ge1$であり、等号は$t=b/a$で成立する。よって最小値は1、これを与える$t$は$b/a$である。 また、ベクトルの内積の不等式から $$(at-b)^2=\{(a,-b)\cdot(t,1)\}^2\le(a^2+b^2)(t^2+1).$$ 従って$f(t)\le1+a^2+b^2$であり、等号は$(t,1)$が$(a,-b)$に比例するとき、すなわち$t=-a/b$で成立する。よって最大値も存在し、最大値は$1+a^2+b^2$、これを与える$t$は$-a/b$である。 $$\boxed{\text{最大値 }1+a^2+b^2\ (t=-a/b),\qquad \text{最小値 }1\ (t=b/a)}.$$