3聖マリアンナ医科大学 2019年 数学 第3問解答・解説

第3問 (1) 直線$y=x+k$の方向ベクトルは$(1,1)$である。点$(x,y)$をこの直線に関して反射した点を$(X,Y)$とすると、直線方向の成分は変わらず、法線方向の成分が反転するので $$X=y-k,\qquad Y=x+k.$$ 実際、この写像は直線上の点を固定する。逆に$x=Y-k,\ y=X+k$であるから、元の楕円の式$x^2/4+y^2=1$を代入し、像の座標を$(x,y)$と書き直せば $$\displaystyle \boxed{C_1:\ (x+k)^2+\frac{(y-k)^2}{4}=1}.$$ (2),(3) $C$を4倍した式$x^2+4y^2=4$と、$C_1$を4倍した式$4(x+k)^2+(y-k)^2=4$との差を取ると $$3x^2-3y^2+8kx-2ky+5k^2=0.$$ $u=x+y,\ v=x-y$とおけば左辺は $$3uv+3ku+5kv+5k^2=(3u+5k)(v+k)$$ と因数分解される。従って$C$と$C_1$の共有点は、楕円$C$と次の2直線との交点の合併である。 $$\displaystyle L_1:\ x-y=-k\quad(y=x+k),\qquad L_2:\ x+y=-\frac{5k}{3}.$$ $L_1$を$C$に代入すると $$\displaystyle \frac{x^2}{4}+(x+k)^2=1$$ である。これは$x$の二次方程式で判別式が$5-k^2$なので、交点数は$|k|<\sqrt5$なら2、$|k|=\sqrt5$なら1、それより大なら0である。 一方、楕円上では $$\displaystyle (x+y)^2=\left(2\cdot\frac{x}{2}+1\cdot y\right)^2 \le(2^2+1^2)\left(\frac{x^2}{4}+y^2\right)=5.$$ 従って$L_2$の交点数は$|5k/3|<\sqrt5$、すなわち$|k|<3\sqrt5/5$なら2、等号なら1、それより大なら0である。 $|k|<\sqrt5$なら$L_1$が異なる2点で$C$と交わるので共有点は少なくとも2個である。$|k|=\sqrt5$では$L_1$は1点で接し、$L_2$は交わらない（$\sqrt5>3\sqrt5/5$）。$|k|>\sqrt5$では両方とも交わらない。従って共有点が1個となるのは $$\boxed{k=\pm\sqrt5}.$$ 次に$|k|<3\sqrt5/5$では両直線がそれぞれ$C$と2点で交わる。両直線の交点は $$\displaystyle x=-\frac{4k}{3},\qquad y=-\frac{k}{3}$$ であり、これが$C$上にある条件は $$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=\frac{5k^2}{9}=1,$$ すなわち$|k|=3\sqrt5/5$である。したがって上記の開区間内では2直線の楕円との交点は重ならず、共有点は4個となる。端点では$L_2$の接点が$L_1$との交点でもあるので合併は2点である。区間外では少なくとも一方の直線から得る交点数は1以下、他方からは高々2点なので、合併は3点以下である。従って $$\displaystyle \boxed{-\frac{3\sqrt5}{5}<k<\frac{3\sqrt5}{5}}.$$