8弘前大学 2001年 数学 第8問解答・解説

解答 点 $P$ を $P=(2\cos t,\sin t)$ と表し、$q=\cos^2t$（$0\le q\le1$）とおく。楕円の接線は $$\displaystyle \frac{\cos t}{2}x+\sin t\,y=1$$ で、その法線ベクトルは $\boldsymbol n=(\cos t/2,\sin t)$ である。垂線の足 $H$ は $\boldsymbol n$ と平行で、接線上にあるから $H=\boldsymbol n/|\boldsymbol n|^2$。よって $$\displaystyle OH^2=\frac1{|\boldsymbol n|^2}=\frac1{1-3q/4},\qquad OP^2=1+3q.$$ $OH\perp PH$ なので $$\displaystyle PH^2=OP^2-OH^2=1+3q-\frac1{1-3q/4}.$$ ここで $r=1-3q/4$ とおくと $1/4\le r\le1$、$\displaystyle q=\frac43(1-r)$ であり、 $$\displaystyle PH^2=5-4r-\frac1r\le1,$$ なぜなら $r>0$ について $4r+1/r\ge2\sqrt{4}=4$ だからである。等号は $4r=1/r$、すなわち $r=1/2$ のとき成立し、この値は許される範囲にある。したがって最大値は $PH=1$。

等号条件から $q=2/3$、したがって $\cos t=\pm\sqrt6/3$、$\sin t=\pm\sqrt3/3$ で、符号は独立に選べる。よって $$\displaystyle \boxed{P=\left(\pm\frac{2\sqrt6}{3},\,\pm\frac{\sqrt3}{3}\right)\quad(\text{符号は独立}),\qquad PH=1.}$$