10自治医科大学 2015年 数学 第10問解答・解説

楕円上の点を $P=(x,y)=(3u,2v)$ とおくと、楕円の方程式から $u^2+v^2=1$ である。直線 $L$ の傾きは $\displaystyle \frac12$ なので、垂線 $PQ$ の傾きは $-2$ である。そこで $Q=(x-t,y+2t)$ とおく。$Q$ は $L$ 上にあるから $$\displaystyle 0=(x-t)-2(y+2t)+10=x-2y+10-5t, \qquad t=\frac{x-2y+10}{5}.$$ したがって $$\displaystyle PQ=\sqrt{t^2+(-2t)^2}=|t|\sqrt5=\frac{|x-2y+10|}{\sqrt5} =\frac{|3u-4v+10|}{\sqrt5}.$$

ここで、平方を展開すると $$(3u-4v)^2+(4u+3v)^2=25(u^2+v^2)=25$$ となる。したがって $|3u-4v|\leq 5$、すなわち $5\leq 3u-4v+10\leq 15$ である。よって絶対値の中は常に正であり、距離については $\sqrt5\leq PQ\leq3\sqrt5$ を得る。

$\displaystyle u=\frac35,\ v=-\frac45$ のとき $3u-4v=5$ となり、これは楕円上の点 $\displaystyle P=(\frac95,-\frac85)$ に対応する。また $\displaystyle u=-\frac35,\ v=\frac45$ のとき $3u-4v=-5$ となり、楕円上の点 $\displaystyle P=(-\frac95,\frac85)$ に対応する。したがって両端の距離が実際に達成され、 $$\displaystyle M=\frac{15}{\sqrt5}=3\sqrt5,\qquad m=\frac5{\sqrt5}=\sqrt5.$$ ゆえに $$\displaystyle \frac{M}{m}=3.$$ 選択肢では $(\text{タ})$ である。