2北里大学 2015年 数学 第2問解答・解説

直線の式から $x=ky-\sqrt{3}$ である。これを楕円に代入すると、$$(k^2+4)y^2-2\sqrt{3}ky-1=0.$$ 判別式は $16(k^2+1)>0$ なので、異なる2交点がある。$P,P'$ の $y$ 座標を $y_1,y_2$ とすると、$$\displaystyle |y_1-y_2|=\frac{4\sqrt{k^2+1}}{k^2+4}.$$ また $x=ky-\sqrt{3}$ より、$\overrightarrow{PP'}$ は $(k(y_1-y_2),y_1-y_2)$ と表せるから、$$\displaystyle PP'=\sqrt{k^2+1}|y_1-y_2|=\frac{4(k^2+1)}{k^2+4}.$$ (1) 直線を $x-ky+\sqrt{3}=0$ と書くと、焦点 $F(\sqrt{3},0)$ から直線までの距離は $\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{k^2+1}}$ である。よって三角形の面積は、$$\displaystyle \frac12 PP'\cdot\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{4\sqrt{3(k^2+1)}}{k^2+4}.$$ (2) 周長を求める。楕円上の点を $(2\cos t,\sin t)$ と表すと、焦点 $F$ までの距離は $$\sqrt{(2\cos t-\sqrt{3})^2+\sin^2t}=2-\sqrt{3}\cos t$$ である。根と係数の関係から $$\displaystyle y_1+y_2=\frac{2\sqrt{3}k}{k^2+4},\qquad x_1+x_2=k(y_1+y_2)-2\sqrt{3}=-\frac{8\sqrt{3}}{k^2+4}.$$ したがって $\displaystyle \cos t_1+\cos t_2=\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac{4\sqrt{3}}{k^2+4}$ であり、$$\displaystyle FP+FP'=4-\sqrt{3}(\cos t_1+\cos t_2)=4+\frac{12}{k^2+4}.$$ これと $PP'$ を足すと三角形の周長は$$\displaystyle \frac{4(k^2+1)}{k^2+4}+4+\frac{12}{k^2+4}=8.$$ ゆえに半周長は $4$、内接円の半径 $r$ は面積を半周長で割って、$$\displaystyle r=\frac{\sqrt{3(k^2+1)}}{k^2+4}.$$ $t=k^2\geq0$ と置くと、$$\displaystyle r^2=\frac{3(t+1)}{(t+4)^2},\qquad \frac{d}{dt}r^2=\frac{3(2-t)}{(t+4)^3}.$$ したがって $r^2$ は $0\leq t<2$ で増加し、$t>2$ で減少する。最大となるのは $t=2$、すなわち $k=\pm\sqrt{2}$ である。