IV慶應義塾大学 2019年 数学 第IV問解答・解説

agraph{問題IV（独立解答）} 円の半径は $|s|$ である。以下、(1)、(2)および(3)の距離の計算では $s>0$, $|t|<1$ とし、$\alpha=1+t>0$, $\beta=1-t>0$ と置く。

agraph{(1)} $L_A:y=mx-1$ と置く。中心 $(s,t)$ からこの直線への距離が半径 $s$ に 等しいので、 $$\displaystyle \frac{|ms-t-1|}{\sqrt{1+m^2}}=s, \qquad (ms-\alpha)^2=s^2(1+m^2).$$ 展開して $-2ms\alpha+\alpha^2-s^2=0$ だから $$\displaystyle m=\frac{\alpha^2-s^2}{2s\alpha} =\boxed{\frac{(1+t)^2-s^2}{2s(1+t)}}\quad(\text{あ}).$$ 同様に $L_B:y=nx+1$ とすると $$\displaystyle \frac{|ns+1-t|}{\sqrt{1+n^2}}=s, \qquad (ns+\beta)^2=s^2(1+n^2),$$ ゆえに $2ns\beta+\beta^2-s^2=0$ であり、 $$\displaystyle n=\boxed{\frac{s^2-(1-t)^2}{2s(1-t)}}\quad(\text{い}).$$

agraph{(2)} $Q$ が右半平面の三角形 $APB$ の内心ならば、内接円の $AB$ 上の接点 $(0,t)$ は辺 $AB$ の内部にある。したがって $s>0$, $|t|<1$ である。 また $P$ は $L_A,L_B$ の交点である。両直線の式から $$\displaystyle P_x=\frac{2}{m-n},\qquad m-n=\frac1s-\frac{s}{1-t^2} =\frac{1-s^2-t^2}{s(1-t^2)}.$$ $P_x>0$ より $s^2+t^2<1$ が必要である。

逆に $s>0$ かつ $s^2+t^2<1$ とする。このとき $|t|<1$ であり、 $$\displaystyle P_x=\frac{2s(1-t^2)}{1-s^2-t^2}>2s>0.$$ さらに $x=s$ において $$\displaystyle t-(ms-1)=\alpha-ms=\frac{\alpha^2+s^2}{2\alpha}>0, \qquad (ns+1)-t=ns+\beta=\frac{\beta^2+s^2}{2\beta}>0.$$ よって $Q$ は $AB,L_A,L_B$ が囲む三角形の内部にある。中心 $Q$、 半径 $s$ の円はこれら三辺を含む直線に接し、三角形の内部側にあるから 内接円である。したがって条件は $$\boxed{s^2+t^2<1}\quad(\text{う})$$ である（問題文にある $s>0$ と併せる）。

agraph{(3)} $AB$ は鉛直なので $Q$ からの高さは $y=t$ である。一方、 $AQ$ の方向ベクトルは $(s,1+t)$ だから、$B$ からの高さは $$sx+(1+t)(y-1)=0.$$ $y=t$ を代入すれば $$\displaystyle H=(u,v)=\left(\frac{(1+t)(1-t)}{s},t\right), \qquad \boxed{u=\frac{1-t^2}{s}}\quad(\text{え}),\qquad \boxed{v=t}\quad(\text{お}).$$ この式は $s\ne0$, $|t|\ne1$ のもとで成り立つ。

$s>0$, $|t|<1$ のとき、$R=(-u,-t)$ と $L_A:mx-y-1=0$ の距離は $$\displaystyle d=\frac{|-mu+t-1|}{\sqrt{1+m^2}}.$$ (1)の $m=(\alpha^2-s^2)/(2s\alpha)$ と $u=\alpha\beta/s$ を代入すると $$\displaystyle -mu+t-1 =-\frac{\beta(\alpha^2-s^2)}{2s^2}-\beta =-\frac{\beta(\alpha^2+s^2)}{2s^2}, \qquad \sqrt{1+m^2}=\frac{\alpha^2+s^2}{2s\alpha}.$$ ここで $s,\alpha,\beta$ は正だから、絶対値と根号を取り除けて $$\displaystyle d=\frac{\beta(\alpha^2+s^2)}{2s^2} \frac{2s\alpha}{\alpha^2+s^2} =\boxed{\frac{1-t^2}{s}}\quad(\text{か}).$$

agraph{(4)} $P=(X,Y)$ とする。焦点が $(0,\pm1)$、長半径が $a>1$ の楕円は $$\displaystyle \frac{X^2}{a^2-1}+\frac{Y^2}{a^2}=1.$$ $X>0$ なので $|Y|<a$ である。この式を使って焦点距離を計算すると $$\displaystyle PA^2=X^2+(Y+1)^2=\left(a+\frac Ya\right)^2, \qquad PB^2=X^2+(Y-1)^2=\left(a-\frac Ya\right)^2.$$ 右辺の平方根の中身は正なので、$PA=a+Y/a$, $PB=a-Y/a$ となる。 内心の座標は、各辺の長さを対向頂点の重みにした公式 （内心で分割した三角形の面積比から従う）より $$\displaystyle Q=\frac{PB\,A+PA\,B+AB\,P}{PA+PB+AB} =\frac{(a-Y/a)(0,-1)+(a+Y/a)(0,1)+2(X,Y)}{2a+2} =\left(\frac{X}{a+1},\frac Ya\right).$$ したがって $X=(a+1)s$, $Y=at$ を楕円の式に代入して $$\displaystyle \frac{a+1}{a-1}s^2+t^2=1.$$ 求める2次曲線の係数は $$\displaystyle \boxed{\text{き}=\frac{a+1}{a-1}},\qquad \boxed{\text{く}=0},\qquad \boxed{\text{け}=1},\qquad \boxed{\text{こ}=0}.$$