II慶應義塾大学 2019年 数学 第II問解答・解説

各時点で頂点 B にいる確率を $r_n$ とする。初期状態は B なので、1回後は A,C,D の各頂点に確率 $\displaystyle \frac13$ で移り、 $$\displaystyle p_1=q_1=\frac13,\qquad r_1=0.$$ また $n\geq2$ では、Bにいるのは直前にAから移った場合だけなので $\displaystyle r_n=\frac23p_{n-1}$ である。

(1) AからAへは確率 $\displaystyle \frac13$ で移り、BからAへは確率 $\displaystyle \frac13$ で移る。よって $n\geq3$ で $$\displaystyle p_n=\frac13p_{n-1}+\frac13r_{n-1} =\frac13p_{n-1}+\frac29p_{n-2}.$$ 初項は $\displaystyle p_1=\frac13,\quad p_2=\frac19$ である。

(2) 上の漸化式を因数分解すると $$\displaystyle p_n-\frac23p_{n-1} =-\frac13\left(p_{n-1}-\frac23p_{n-2}\right).$$ したがって $\displaystyle \text{う}=\frac23,\quad \text{え}=-\frac13$.

(3) $n=2$ では $$\displaystyle p_2-\frac23p_1=\frac19-\frac29=-\frac19.$$ (2)を使うと各項で $\displaystyle -\frac13$ 倍されるから、$n\geq2$ で $$\displaystyle p_n-\frac23p_{n-1} =-\frac19\left(-\frac13\right)^{n-2} =-\left(-\frac13\right)^n.$$ よって $\displaystyle \text{お}=-1,\quad \text{か}=-\frac13$.

(4) 漸化式の特性方程式は $$\displaystyle \lambda^2-\frac13\lambda-\frac29=0 =\left(\lambda-\frac23\right)\left(\lambda+\frac13\right).$$ ゆえに $\displaystyle p_n=C(\frac23)^n+D(-\frac13)^n$ とおける。$\displaystyle p_1=\frac13,\quad p_2=\frac19$ を代入すると $$\displaystyle \frac23C-\frac13D=\frac13,\qquad \frac49C+\frac19D=\frac19.$$ これを解いて $\displaystyle C=\frac13,\quad D=-\frac13$. したがって $$\displaystyle p_n=\frac13\left(\frac23\right)^n-\frac13\left(-\frac13\right)^n.$$

(5) $n\geq2$ で $\displaystyle q_n-q_{n-1}=\frac13r_{n-1}$. 特に $n\geq3$ では $$\displaystyle q_n-q_{n-1}=\frac29p_{n-2} =\frac{2}{27}\left\{\left(\frac23\right)^{n-2}-\left(-\frac13\right)^{n-2}\right\},$$ かつ $\displaystyle q_1=q_2=\frac13$. 等比数列の和を使うと $$\displaystyle q_n=\frac13+\frac2{27}\sum\limits _{j=1}^{n-2} \left\{\left(\frac23\right)^j-\left(-\frac13\right)^j\right\} =\frac12-\frac13\left(\frac23\right)^n-\frac16\left(-\frac13\right)^n.$$ $n=1,2$ でも右辺は $\displaystyle \frac13$ となり、初期値に一致する。よってこの式は全自然数 $n$ で成り立つ。