I慶應義塾大学 2019年 数学 第I問解答・解説

$\displaystyle (1)\ \cos^2\theta=\frac{1+\cos2\theta}{2},\ \sin^2\theta=\frac{1-\cos2\theta}{2},\ \sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$ より $$\displaystyle y=\frac12+\frac32\cos2\theta-\frac{\sqrt3}{2}\sin2\theta =\frac12+\sqrt3\cos\left(2\theta+\frac{\pi}{6}\right).$$ 最大値は $\displaystyle \frac12+\sqrt3$ であり、$0\le\theta\le\pi$ の範囲で $\displaystyle 2\theta+\frac{\pi}{6}=2\pi$ となる $\displaystyle \theta=\frac{11\pi}{12}$ のときにとる。

$(2)\ K$君の$2$個の選び方は $\displaystyle \binom62=15$ 通りであり、同色となるのは白$2$個または黒$2$個を選ぶ$4$通りだから $$\displaystyle P(A)=\frac4{15}.$$ $2$回の抽出位置を入れ替えても対称なので $P(B)=4/15$ である。$A\cap B$ は、$K$君が白$2$個を選び$O$君が黒$2$個を選ぶ場合、または$K$君が黒$2$個を選び$O$君が白$2$個を選ぶ場合に限る。順にその確率は $$\displaystyle \frac1{15}\cdot\frac{\binom32}{\binom42} +\frac3{15}\cdot\frac{\binom22}{\binom42} =\frac1{30}+\frac1{30}=\frac1{15}.$$ したがって $$\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac4{15}+\frac4{15}-\frac1{15}=\frac7{15}.$$

(3) 外積を使わず，内積と成分で計算する。$\overrightarrow{AB}=(-1,2,0)$，$\overrightarrow{AC}=(-1,0,-3)$ であり，$|AB|^2=5$，$|AC|^2=10$，$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=1$ である。$\angle BAC=\theta$ とすると，$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=|AB||AC|\cos\theta$ と三角形の面積公式より $$4[ABC]^2=|AB|^2|AC|^2\sin^2\theta=|AB|^2|AC|^2-(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC})^2=50-1=49,$$ したがって三角形の面積は $[ABC]=7/2$ である。

点 $P=(x,y,z)$ がA,B,Cから等距離である条件を距離の平方で比較すると $$|P-A|^2=|P-B|^2\text{ の必要十分条件は }2P\cdot(B-A)=|B|^2-|A|^2, \quad |P-A|^2=|P-C|^2\text{ の必要十分条件は }2P\cdot(C-A)=|C|^2-|A|^2.$$ 具体的には $2x-4y=-3$，$x+3z=-4$ であり，二平面の交わりは直線である。その方向ベクトル $v=(v_x,v_y,v_z)$ は二式の係数に直交するから $$-v_x+2v_y=0,\qquad -v_x-3v_z=0.$$ これを満たす正のx成分をもつベクトルとして $(6,3,-2)$ を取れる。その長さは7なので、求める単位ベクトルは $$\vec p=(6/7,3/7,-2/7).$$