1産業医科大学 2020年 数学 第1問解答・解説

(1) $x<0$ なら $\pi^x-e^x<0$ である一方、$\bigl||x-2|-1\bigr|\ge0$ なので解はない。$x\ge0$ で $F(x)=\pi^x-e^x$ とおくと $$F'(x)=e^x\{(\pi/e)^x\ln\pi-1\}>0,\qquad F''(x)=e^x\{(\pi/e)^x(\ln\pi)^2-1\}>0.$$ 右辺の絶対値部分は区間 $0\le x\le1,1\le x\le2,2\le x\le3,x\ge3$ で順に $1-x,x-1,3-x,x-3$ である。$0\le x\le1$ では $F$ が増加、$1-x$ が減少し、端点で大小が逆なので交点は1つ。$1\le x\le2$ では $H(x)=F(x)-(x-1)$ が凸であり、接線評価 $$H(x)\ge H(1)+H'(1)(x-1),$$ その右辺の両端値は $\pi-e>0$、$\pi(1+\ln\pi)-2e-1>0$（後者は約 $0.30$）なので交点はない。$2\le x\le3$ では右辺が1以下、$F(x)\ge F(2)=\pi^2-e^2>1$ なので交点はない。$x\ge3$ では $F(x)-(x-3)$ は正で、導関数も正である。従って解の個数は $1$。

(2) 4乗和の公式 $$\displaystyle 1^4+2^4+\cdots+n^4=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}$$ から、分子の最高次項は $n^5/5$ だから求める極限は $1/5$。

(3) 半周長は $9$、ヘロンの公式による面積は $$\Delta=\sqrt{9\cdot4\cdot1\cdot4}=12,$$ 従って内接円の半径は $r=\Delta/9=4/3$。余弦定理から $$\displaystyle \cos C=\frac{5^2+8^2-5^2}{2\cdot5\cdot8}=\frac45, \qquad \sin\frac C2=\sqrt{\frac{1-\cos C}{2}}=\frac1{\sqrt{10}}.$$ 直角三角形から $CI=r/\sin(C/2)=4\sqrt{10}/3$。

(4) 4から50までの偶数は24個であり、すべて次のように2素数の和で表せる： $$\begin{aligned} &4=2+2,\ 6=3+3,\ 8=3+5,\ 10=3+7\\ &12=5+7,\ 14=3+11,\ 16=3+13,\ 18=5+13\\ &20=3+17,\ 22=3+19,\ 24=5+19,\ 26=3+23\\ &28=5+23,\ 30=7+23,\ 32=3+29,\ 34=3+31\\ &36=5+31,\ 38=7+31,\ 40=3+37,\ 42=5+37\\ &44=3+41,\ 46=3+43,\ 48=5+43,\ 50=3+47. \end{aligned}$$ したがって個数は $24$。

(5) $\alpha=\arcsin(1/3)$ とする。$0\le t<2\pi$ で $\sin4t=1/3$ の解は $$\displaystyle t=\frac\alpha4+\frac{k\pi}{2},\quad t=\frac{\pi-\alpha}{4}+\frac{k\pi}{2}\quad(k=0,1,2,3)$$ の8個である。これらが同じ $x=\cos3t$ を与えると仮定すると、二つの解 $t,s$ は $s=\pm t+2j\pi/3\ (j=0,1,2)$ を満たす。$s=t+2j\pi/3$ の場合、$j=1,2$ なら $\sin4t=\pm1/2$ となり不可能である。$s=-t+2j\pi/3$ の場合には $\sin4t$ は $0$ または $\pm\sqrt3/2$ となり、やはり $1/3$ と一致しない。よって8個の解は互いに異なる点を与え、交点は $8$ 個。

(6) 底面を一辺1の正三角形とすると、その面積は $\sqrt3/4$。底面の重心から頂点までの高さは、底面の外接円半径が $1/\sqrt3$ であることから $$\displaystyle \sqrt{1-\frac13}=\sqrt{\frac23}.$$ よって正四面体の体積は $\displaystyle \frac13\cdot\frac{\sqrt3}{4}\cdot\sqrt{\frac23}=\frac{\sqrt2}{12}$。

(7) $\overrightarrow{AB}=(1,-2,0),\ \overrightarrow{AC}=(1,0,0)$ は $z=0$ の平面内にあり、その平行四辺形の面積は $1\cdot2=2$。点 $D$ は $z=3$、平面 $ABC$ は $z=1$ 上にあるので高さは2。従って平行六面体の体積は $2\cdot2=4$。

(8) 100円玉を $x$ 枚、50円玉を $y$ 枚とすると、$0\le x\le30$、$0\le y\le60-2x$ であり、残額は10円玉で一意に払える。従って支払い方は $$\displaystyle \sum\limits _{x=0}^{30}(61-2x)=31\cdot61-2\cdot\frac{30\cdot31}{2}=961$$ 通り。

(9) 半周長は $15/2$。ヘロンの公式により $$\displaystyle \Delta=\sqrt{\frac{15}{2}\cdot\frac92\cdot\frac52\cdot\frac12}=\frac{15\sqrt3}{4}.$$ 外接円半径は $\displaystyle R=\frac{3\cdot5\cdot7}{4\Delta}=\frac7{\sqrt3}=\frac{7\sqrt3}{3}$。

(10) 平方完成すると $$\displaystyle y^2=2\left(x+\frac12\right)^2-\frac12, \qquad \frac{(x+1/2)^2}{1/4}-\frac{y^2}{1/2}=1.$$ したがって $a^2=1/4,\ b^2=1/2$、焦点距離の二乗は $c^2=a^2+b^2=3/4$ であり、離心率は $c/a=\sqrt3$。

(11) $g(x)=e^x f(x)$ とおく。条件 $f\prime(x)+f(x)=0$ と積の微分法から、 $$g\prime(x)=e^x f(x)+e^x f\prime(x)=e^x\bigl(f(x)+f\prime(x)\bigr)=0.$$ $0\le a<b\le1$ を満たす任意の $a,b$ に対し、平均値の定理により$a<c<b$ を満たす $c$ が存在し、$g(b)-g(a)=g\prime(c)(b-a)=0$ となる。よって $g$ は $0\le x\le1$ で一定である。$g(1)=e f(1)=e$ だから $g(0)=f(0)=e$。従って $f(0)=e$。

(12) $h(x)=xf(x)$ とおく。区間 $2\le x\le3$ では $x>0$ なので、条件 $f\prime(x)+f(x)/x=0$ と積の微分法から $$\displaystyle h\prime(x)=f(x)+xf\prime(x)=f(x)+x\left(-\frac{f(x)}{x}\right)=0.$$ $2\le a<b\le3$ を満たす任意の $a,b$ に平均値の定理を適用すると $h(b)-h(a)=h\prime(c)(b-a)=0$ となり、$h$ はこの区間で一定である。$h(2)=2f(2)=2$ より $h(3)=3f(3)=2$。従って $\displaystyle f(3)=\frac23$。