1兵庫医科大学 2019年 数学 第1問解答・解説

(1) $t=2^x$ とおくと、$x>0$ は $t>1$ と同値であり、方程式は $$t^2-4t+(a^2-3a+4)=0$$ となる。$K=a^2-3a+4$ とおくと根は $2\pm\sqrt{4-K}$ である。異なる2つの根がともに $1$ より大きくなる条件は $3<K<4$ である（このとき $0<\sqrt{4-K}<1$）。従って $$3<a^2-3a+4<4$$ であり、これを解くと $$a^2-3a+1>0,\qquad a(a-3)<0,$$ より $$\displaystyle 0<a<\frac{3-\sqrt5}{2}\quad\text{または}\quad \frac{3+\sqrt5}{2}<a<3.$$ 端点では重解または $t=1$ の根を含むため、いずれも除く。

(2)(a) $b_n=a_n+4$ とおくと $$\displaystyle b_{n+1}=a_{n+1}+4=\frac{2a_n+4}{a_n+5}+4=\frac{6(a_n+4)}{a_n+5}=\frac{6b_n}{b_n+1}.$$ (b) $c_n=1/b_n$ とおくと $c_1=1/6$ であり、(a)より $$\displaystyle c_{n+1}=\frac{c_n+1}{6},\qquad c_{n+1}-\frac15=\frac16\left(c_n-\frac15\right).$$ よって $$\displaystyle c_n=\frac15-\frac1{30}\left(\frac16\right)^{n-1} =\frac{6^n-1}{30\cdot6^{n-1}}.$$ 従って $\displaystyle b_n=\dfrac{30\cdot6^{n-1}}{6^n-1}=\dfrac{5\cdot6^n}{6^n-1}$ なので $$\displaystyle a_n=b_n-4=\frac{6^n+4}{6^n-1}.$$ $n=1$ を代入すると $a_1=2$ となり初項も一致する。

(3) $\overrightarrow{AB}=\boldsymbol b$, $\overrightarrow{AC}=\boldsymbol c$, $\overrightarrow{AP}=\boldsymbol p$ とおくと、$\overrightarrow{PB}=\boldsymbol b-\boldsymbol p$, $\overrightarrow{PC}=\boldsymbol c-\boldsymbol p$ である。条件から $$\displaystyle \boldsymbol p+3(\boldsymbol b-\boldsymbol p)+2(\boldsymbol c-\boldsymbol p)=\boldsymbol0, \qquad \boldsymbol p=\frac{3\boldsymbol b+2\boldsymbol c}{4}.$$ $AB$ を底辺とする符号付き面積の比では、点 $P$ の $C$ に対応する係数は $2/4=1/2$ である。従って $\displaystyle [PAB]=\dfrac12[ABC]=\dfrac12$。

(4)(a) 2種類の手が出て、その人数が2人ずつなら一方の手の組が勝ち、他方が負ける。勝つ手の選び方は3通り、勝者の2人の選び方は $\displaystyle \binom42=6$ 通りである。よって確率は $3\cdot6/3^4=2/9$。

(b) あいこは、全員が同じ手を出す場合か、3種類すべての手が出る場合である。前者は3通り。後者は、2人が出す手を選び、2人の位置を選び、残り2人に別々の手を割り当てるので $\displaystyle 3\binom42\cdot2=36$ 通り。従って確率は $$\displaystyle \frac{3+36}{3^4}=\frac{13}{27}.$$

(c) あいこ以外は、ちょうど2種類の手だけが出る場合である。あいこになる場合を数えると、全員同じ場合は3通り、3種類すべてが出る場合は包含排除により $3^n-3\cdot2^n+3$ 通りである。したがって $$\displaystyle P=\frac{3+(3^n-3\cdot2^n+3)}{3^n} =1-3\left(\frac23\right)^n+\frac6{3^n}.$$ $n=1$ では確率1、$n=4$ では $13/27$ となり、それぞれの状況に一致する。