1東京慈恵会医科大学 2012年 数学 第1問解答・解説

(1) 左辺を二次式として解の公式を用いる。判別式は $$(16a+7)^2-24(2a+1)(5a+2)=(4a+1)^2$$ であるから、二つの解は $$\displaystyle \frac{(16a+7)-(4a+1)}{12}=a+\frac12,\qquad \frac{(16a+7)+(4a+1)}{12}=\frac{5a+2}{3}$$ である。したがって不等式を満たす整数は $$\displaystyle a+\frac12<x<\frac{5a+2}{3}$$ を満たす整数である。左端より大きい最小の整数は $a+1$、右端より小さい整数の個数は $$\displaystyle \left\lceil\frac{5a+2}{3}\right\rceil-(a+1)=\left\lceil\frac{5a+2}{3}\right\rceil-a-1$$ となる。これが10だから $$\displaystyle a+10<\frac{5a+2}{3}\le a+11$$ であり、これを解くと $\displaystyle 14<a\le\frac{31}{2}$ となる。$a$ は正の整数なので $a=15$ である。右端が整数の場合にも不等号が厳密であることを、上の天井関数で反映している。

(2) $\vec{u}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$、$\vec{v}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ とおく。辺の長さより $$\displaystyle \vec{u}\cdot\vec{v}=\frac{\mathrm{AB}^2+\mathrm{AC}^2-\mathrm{BC}^2}{2}=\frac{2+3-4}{2}=\frac12.$$ また $\overrightarrow{\mathrm{AO}}=s\vec{u}+t\vec{v}$ とする。外心なので $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$ である。$\overrightarrow{\mathrm{BO}}=\overrightarrow{\mathrm{AO}}-\vec{u}$ より $\lvert\overrightarrow{\mathrm{BO}}\rvert^2=\lvert\overrightarrow{\mathrm{AO}}\rvert^2$ を展開すると $2\overrightarrow{\mathrm{AO}}\cdot\vec{u}=\lvert\vec{u}\rvert^2=2$ となる。同様に $2\overrightarrow{\mathrm{AO}}\cdot\vec{v}=\lvert\vec{v}\rvert^2=3$ である。これらに $s\vec{u}+t\vec{v}$ を代入して $$\displaystyle 2s+\frac12t=1,\qquad \frac12s+3t=\frac32.$$ 第一式から $t=2-4s$。第二式に代入すると $s+6(2-4s)=3$、すなわち $-23s=-9$ だから $\displaystyle s=\frac9{23}$、$\displaystyle t=2-4\cdot\frac9{23}=\frac{10}{23}$ である。両値を連立式に代入するとそれぞれ左辺は $1$、$\displaystyle \frac32$ となり、条件を満たすことも確かめられる。

(3) 最初に袋Aから取り出す2個が赤赤となる確率は $\displaystyle \binom22/\binom32=1/3$、赤白となる確率は $\displaystyle \binom21\binom11/\binom32=2/3$ である。

赤赤を移した場合、袋Aには白玉が1個残り、袋Bは赤3個・白2個となる。袋Bから赤1個・白1個を戻す確率は $\displaystyle \binom31\binom21/\binom52=6/10=3/5$ だから、この場合に $X=2$ となる確率は $1/3\cdot3/5=1/5$ である。

赤白を移した場合、袋Aには白玉が残らず、袋Bは赤2個・白3個となる。この場合に $X=0$ となるには赤2個を戻せばよいので、その確率は $\displaystyle 2/3\cdot\binom22/\binom52=1/15$ である。また $X=2$ となるには白2個を戻せばよく、その確率は $\displaystyle 2/3\cdot\binom32/\binom52=1/5$ である。したがって $$\displaystyle P(X=0)=\frac1{15},\qquad P(X=2)=\frac15+\frac15=\frac25.$$ 検算として、赤赤移動の場合の戻す2個の組合せは赤赤3通り、赤白6通り、白白1通りで計10通り、赤白移動の場合は赤赤1通り、赤白6通り、白白3通りで計10通りであり、各場合の確率分母が $\displaystyle \binom52=10$ と一致する。

(4) $f(0)=0$ である。$h>0$ なら $\lvert h^3\rvert=h^3$、$h<0$ なら $\lvert h^3\rvert=-h^3$ だから、差商は $$\displaystyle \frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{|h^3|}{h}=\begin{cases}h^2&(h>0),\\-h^2&(h<0).\end{cases}$$ 左右どちらから近づけても極限は0である。よって $f$ は $x=0$ で微分可能であり、$f'(0)=0$。差商を実際に評価して確かめた結果、左右の微分係数がともに0で一致している。