3東京慈恵会医科大学 2012年 数学 第3問解答・解説

(1) $Q$ は正 $n$ 角形の一辺の中点であり、$P_1Q=2$ である。$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{n}$ とおくと、直角三角形 $GP_1Q$ で $\angle P_1GQ=\theta$ だから $$\displaystyle GQ=\frac{P_1Q}{\tan\theta}=2\cot\theta.$$ $n\ge3$ より $\displaystyle 0<\theta\le\frac{\pi}{3}$。この範囲で $\displaystyle \tan\theta\le\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3$ なので $$\displaystyle GQ\ge\frac{2}{\sqrt3}>1.$$

(2)(i) $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{n}$、$\rho=\sqrt{1-t^2}$ とおく。高さ $z=t$ で半径1の球を切ると、中心から水平距離 $\rho$ 以内の円板となる。したがって断面は、正 $n$ 角形の周上を中心が動くときの半径 $\rho$ の円板の和である。(1)より内接円半径 $d=2\cot\theta>1\ge\rho$ なので、内側の空隙が残る。

正 $n$ 角形そのものの面積を $A$、周長を $4n$ とする。周の外側へ距離 $\rho$ まで広げた図形の面積は、辺に沿う長方形の面積 $4n\rho$ と、頂点での円弧部分（中心角の合計は $2\pi$）を足して $$A+4n\rho+\pi\rho^2$$ である。一方、各辺を内側へ $\rho$ だけ平行移動した正 $n$ 角形の内接円半径は $d-\rho$、辺の半分は $(d-\rho)\tan\theta$ だから、その面積は $$n(d-\rho)^2\tan\theta=A-4n\rho+n\rho^2\tan\theta.$$ 断面は外側に広げた図形からこの内側の図形を除いたものなので、 $$\displaystyle S(t)=8n\rho+(\pi-n\tan\theta)\rho^2 =8n\sqrt{1-t^2}+\left(\pi-n\tan\frac{\pi}{n}\right)(1-t^2) \quad(-1\le t\le1).$$ $t=\pm1$ では $\rho=0$ となり、式も断面積0を与える。

(2)(ii) 断面積を高さについて積分する。$\displaystyle \int_{-1}^{1}\sqrt{1-t^2}\,dt$ は半径1の半円の面積 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$、また $\displaystyle \int_{-1}^{1}(1-t^2)\,dt=\frac43$ だから $$\displaystyle V(n)=\int_{-1}^{1}S(t)\,dt=8n\cdot\frac{\pi}{2}+\left(\pi-n\tan\frac{\pi}{n}\right)\frac43 =4\pi n+\frac43\left(\pi-n\tan\frac{\pi}{n}\right).$$

(3) 正 $n$ 角形の外接円半径を $R$、内接円半径を $d$ とする。$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{n}$ とすれば $$R=2\csc\theta,\qquad d=2\cot\theta,\qquad R^2-d^2=4.$$ 高さ $z=t$ の断面は、中心 $G$ からの距離が最小 $d-\rho$、最大 $R+\rho$ の範囲を連続に占める。最小値は辺の中点方向に距離 $\rho$ だけ近づいた点で、最大値は頂点から外向きに距離 $\rho$ だけ進んだ点で得られる。(1)により $d-\rho>0$ である。この断面を $\ell$ のまわりに回すと、内半径 $d-\rho$、外半径 $R+\rho$ の円環となる。よって $$\displaystyle \begin{aligned} W(n)&=\pi\int_{-1}^{1}\{(R+\rho)^2-(d-\rho)^2\}\,dt\\ &=\pi\int_{-1}^{1}\{R^2-d^2+2(R+d)\sqrt{1-t^2}\}\,dt\\ &=\pi\left(8+\pi(R+d)\right). \end{aligned}$$ ここで $\displaystyle R+d=2(\csc\theta+\cot\theta)=2\cot\frac{\theta}{2}$ を用いると $$\displaystyle W(n)=8\pi+2\pi^2\cot\frac{\pi}{2n}.$$

(4) まず $$\displaystyle \frac{V(n)}{n}=4\pi+\frac{4\pi}{3n}-\frac43\tan\frac{\pi}{n}\longrightarrow4\pi.$$ また $\displaystyle u=\frac{\pi}{2n}$ とおくと、$u\to0$ で $\displaystyle u\cot u=\frac{\cos u}{\sin u/u}\to1$ だから $$\displaystyle \frac{W(n)}{n}=\frac{8\pi}{n}+\frac{2\pi^2}{n}\cot\frac{\pi}{2n} =\frac{8\pi}{n}+4\pi u\cot u\longrightarrow4\pi.$$ 分母側の極限は $4\pi\ne0$ であるため、比の極限は $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac{V(n)}{W(n)}=\frac{4\pi}{4\pi}=1.$$ 断面の積分式からそれぞれ $V(n)/n$、$W(n)/n$ の極限が一致することも直接確かめた。