2岩手医科大学 2021年 数学 第2問解答・解説

正$n$角形の一辺の長さを$s=l/n$とする。中心から一辺に垂線を下ろすと、中心角の半分が$\pi/n$、垂線の足から頂点までの長さが$s/2$、垂線の長さが$r_{l,n}$である。したがって$\tan(\pi/n)=(s/2)/r_{l,n}$より、$$\displaystyle r_{l,n}=\frac{l}{2n}\cot\frac{\pi}{n}.$$また、正$n$角形は底辺$s$、高さ$r_{l,n}$の三角形$n$個に分けられるので、$$\displaystyle S_{l,n}=n\cdot\frac{sr_{l,n}}{2}=\frac{l r_{l,n}}{2}=\frac{l^2}{4n}\cot\frac{\pi}{n}.$$

問1では$l=6,n=8$とする。半角の公式から$$\displaystyle \tan\frac{\pi}{8}=\frac{\sin(\pi/4)}{1+\cos(\pi/4)}=\frac{\sqrt{2}/2}{1+\sqrt{2}/2}=\sqrt{2}-1,\qquad \cot\frac{\pi}{8}=\sqrt{2}+1.$$よって$$\displaystyle r_{6,8}=\frac{6}{16}(\sqrt{2}+1)=\frac{3(\sqrt{2}+1)}{8}.$$問2は$S_{6,8}=l r_{6,8}/2=3r_{6,8}$より$$\displaystyle S_{6,8}=\frac{9(\sqrt{2}+1)}{8}.$$

問3で$x=\pi/n$とおくと、$$\displaystyle S_{6,n}=\frac{9}{n}\cot x=\frac{9}{\pi}x\cot x=\frac{9}{\pi}\frac{\cos x}{\sin x/x}.$$三角関数の基本極限$\sin x/x\to1$と$\cos x\to1$から$x\cot x\to1$。したがって$$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}S_{6,n}=\frac{9}{\pi},$$ゆえに$\text{ケ}=9$、選択肢は③である。

問4のため、$h(x)=x\cot x$、$g(x)=(1-h(x))/x^2$とおく。$x>0$について$$\displaystyle 1-x\cot x=\frac{\sin x-x\cos x}{\sin x}.$$ここで$\displaystyle \frac{d}{dt}(\sin t-t\cos t)=t\sin t$かつ$\sin 0-0\cos 0=0$なので、$$\displaystyle \sin x-x\cos x=\int_0^x t\sin t\,dt=\int_0^x t^2\frac{\sin t}{t}\,dt.$$基本極限$\sin t/t\to1$により、この積分を$x^3$で割った極限は$\displaystyle \frac{1}{x^3}\int_0^x t^2\,dt$の極限と同じく$1/3$である（$\sin t/t$を1にいくらでも近く上下から挟み、積分して評価できる）。また$\sin x/x\to1$だから、$$\displaystyle \lim\limits _{x\to0+}g(x)=\lim\limits _{x\to0+}\frac{(\sin x-x\cos x)/x^3}{\sin x/x}=\frac13.$$一般式に$x=\pi/n$を代入すると$\displaystyle S_{l,n}=\frac{l^2}{4\pi}h(x)$である。$h(x)=1-x^2g(x)$を使えば$$\displaystyle \frac{h(x/2)-h(x)}{x^2}=g(x)-\frac14g(x/2)\longrightarrow\frac13-\frac1{12}=\frac14.$$従って$$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}n^2(S_{l,2n}-S_{l,n})=\frac{l^2}{4\pi}\cdot\pi^2\cdot\frac14=\frac{l^2\pi}{16}>0.$$ゆえに$n^a(S_{l,2n}-S_{l,n})=n^{a-2}\{n^2(S_{l,2n}-S_{l,n})\}$は、$a<2$なら0に、$a>2$なら正の無限大に向かう。0でない有限値に収束するのは$a=2$の場合に限る。このとき$S=l^2\pi/16$なので、$S=1/9$を満たす$l>0$は$$\displaystyle l=\frac{4}{3\sqrt{\pi}}.$$

最後に、問2の面積は$l r_{l,n}/2$からも$3r_{6,8}=9(\sqrt{2}+1)/8$と一致する。また問4の極限係数$l^2\pi/16$は正で、選んだ$a=2$の収束値の符号とも一致する。