1岩手医科大学 2021年 数学 第1問解答・解説

$\vec a\cdot\vec a=\vec b\cdot\vec b=\vec c\cdot\vec c=1$ である。辺の長さの条件から、$16x=|\vec b-\vec a|^2=2-2\vec a\cdot\vec b$、$25x=|\vec c-\vec b|^2=2-2\vec b\cdot\vec c$、$9x=|\vec a-\vec c|^2=2-2\vec c\cdot\vec a$ を得る。そこで $u=\vec a\cdot\vec b$、$v=\vec a\cdot\vec c$、$w=\vec b\cdot\vec c$ とおくと、$u=1-8x$、$\displaystyle v=1-\frac92x$、$\displaystyle w=1-\frac{25}{2}x$ である。

問1では、$\displaystyle x=\frac{2}{25}(1-w)$ を用いて $\displaystyle u=1-\frac{16}{25}(1-w)=\frac{16w+9}{25}$、$\displaystyle v=1-\frac{9}{25}(1-w)=\frac{9w+16}{25}$ と表せる。したがって、$\text{アイ}=25$、$\text{ウエ}=16$、$\text{オ}=9$、$\text{カキ}=25$、$\text{ク}=9$、$\text{ケコ}=16$ である。

問2では、$\displaystyle \overrightarrow{OM}=\frac12(\vec b+\vec c)$、$\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a$、$\overrightarrow{AC}=\vec c-\vec a$ より、$\displaystyle \overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{AB}=\frac12(1-u+w-v)=\frac12(8x-8x)=0$、$\displaystyle \overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{AC}=\frac12(w-u+1-v)=\frac12(-\frac92x+\frac92x)=0$。よって $\text{サ}=\text{シ}=0$ である。

問3では、$AB=4\sqrt{x}$、$AC=3\sqrt{x}$、$BC=5\sqrt{x}$ なので、$\triangle ABC$ は $A$ を直角とする三角形で、その面積は $6x$ である。$O$ から平面 $ABC$ に下ろした垂線の足を $H$ とする。$OA=OB=OC$ と三平方の定理から $HA=HB=HC$ となるので、$H$ は $\triangle ABC$ の外心である。直角三角形の外心は斜辺の中点だから、$\displaystyle HA=\frac{BC}{2}=\frac52\sqrt{x}$。したがって高さは $\displaystyle OH=\sqrt{1-\frac{25}{4}x}$ であり、四面体が成り立つ範囲は $\displaystyle 0<x<\frac4{25}$ である。よって $\displaystyle V=\frac13\cdot 6x\cdot\sqrt{1-\frac{25}{4}x}=2x\sqrt{1-\frac{25}{4}x}$、$V^2=4x^2-25x^3$。従って $\text{ス}=4$、$\text{セソ}=25$ である。

問4では、$V\ge0$ なので $V$ の最大化は $F(x)=V^2=4x^2-25x^3$ の最大化と同じである。$F'(x)=8x-75x^2=x(8-75x)$ より、定義域 $\displaystyle 0<x<\frac4{25}$ で、$\displaystyle 0<x<\frac8{75}$ なら $F'(x)>0$、$\displaystyle \frac8{75}<x<\frac4{25}$ なら $F'(x)<0$ である。したがって最大値を与えるのは $\displaystyle x=\frac8{75}$ であり、$\text{タ}=8$、$\text{チツ}=75$ となる。