3金沢大学 2007年 数学 第3問解答・解説

(1) 楕円の式から $s=2\sqrt{1-t^2}$。底辺 $QR=2s$、高さは $1-t$ なので、$S(t)=s(1-t)=2(1-t)\sqrt{1-t^2}$。ここで $S(t)^2=4(1-t)^3(1+t)$ であり、$\displaystyle \frac{d}{dt}\log S(t)^2=-\frac{3}{1-t}+\frac{1}{1+t}=\frac{-2-4t}{1-t^2}$。したがって増加から減少へ変わる唯一の点は $\displaystyle t=-\frac12$ で、端点での極限は 0。よって最大値は $\displaystyle S(-\frac12)=\frac{3\sqrt3}{2}$。このとき $s=\sqrt3$ なので $\displaystyle R=(\sqrt3,-\frac12)$。 (2) 楕円の接線は $\displaystyle \frac{x_0x}{4}+y_0y=1$。$\displaystyle R=(\sqrt3,-\frac12)$ を代入すると $\displaystyle \frac{\sqrt3}{4}x-\frac12y=1$ であり、$\displaystyle T=(\frac4{\sqrt3},0)$。$\displaystyle \overrightarrow{RP}=(-\sqrt3,\frac32)$、$\displaystyle \overrightarrow{RT}=(\frac1{\sqrt3},\frac12)$ だから、内積は $\displaystyle -\frac14$、長さの積は $\displaystyle \frac74$。よって $\displaystyle \cos\angle PRT=-\frac17$。 (3) 変換 $\displaystyle (u,v)=(\frac{x}{2},y)$ で楕円は単位円となり、元の面積は変換後の 2 倍。$P,R$ はそれぞれ $\displaystyle (0,1),(\frac{\sqrt3}{2},-\frac12)$ に移り、対応する小さい中心角は $\displaystyle \frac{2\pi}{3}$。弦 PR の直線は変換後 $\sqrt3u+v=1$ で、原点は左辺が 0 の側にある。原点を含まない円弧側の弓形は小さい扇形から二等辺三角形を除いた面積で、変換後は $\displaystyle \frac12\cdot\frac{2\pi}{3}-\frac12\sin\frac{2\pi}{3}=\frac\pi3-\frac{\sqrt3}{4}$。元の楕円での面積はその 2 倍なので $\displaystyle \frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{2}$。