4金沢大学 2007年 数学 第4問解答・解説

$$\displaystyle \text{各回の玉の数字を }X_1,X_2,\ldots\text{ とする。前回まで終了していないとき、直前の数字が }x\text{ なら次の5通りのうち終了させる数字は }4-x\text{ の1通りだけである。したがって各次試行で終了する条件付き確率は }\frac15\text{、終了しない確率は }\frac45\text{ である。}\\(1)\quad P_k=\left(\frac45\right)^{k-2}\frac15\quad(k\ge2).\quad\text{よって }P_2=\frac15,\;P_3=\frac4{25},\;P_4=\frac{16}{125}.\\\text{終了していない条件下での直前の数字は }0,1,2,3,4\text{ に一様に分布する。実際、次の数字 }y\text{ は }x+y\ne4\text{ を満たす4個から等確率に選ばれ、各 }y\text{ について条件を満たす }x\text{ も4個あるので、一様分布が保たれる。終了時の得点は直前の数字 }x\text{ に対して }4-x\text{ だから、終了条件付きの平均得点は }\frac15\sum\limits _{x=0}^4(4-x)=2\text{ である。}\\(2)\quad E_n=\sum\limits _{k=2}^{n}2P_k=\frac25\sum\limits _{j=0}^{n-2}\left(\frac45\right)^j=2\left\{1-\left(\frac45\right)^{n-1}\right\}.\\E_2=\frac25,\qquad E_3=2\left(1-\frac{16}{25}\right)=\frac{18}{25}.\\(3)\quad \alpha=\lim\limits _{n\to\infty}E_n=2.\quad E_n\ge\alpha-\frac1{100}\quad\text{すなわち}\quad\left(\frac45\right)^{n-1}\le\frac1{200}.\\\log_{10}\frac54=\log_{10}5-\log_{10}4=1-3\log_{10}2=0.0970,\qquad\log_{10}200=2+\log_{10}2=2.3010.\\n-1\ge\frac{2.3010}{0.0970}\approx23.72,\text{ よって最小の整数は }n-1=24\text{、すなわち }n=25\text{ である。 }(n=24\text{ では }23(0.0970)<2.3010\text{ なので条件を満たさない。})$$