2東京医科歯科大学 2007年 数学 第2問解答・解説

対称性から、$y=-1$ 上の水平移動確率は $p'_n$ と等しい。最初の移動規則より $$\displaystyle p_1=\frac13,\qquad p'_1=\frac13\cdot\frac12=\frac16.$$ $(n,0)$ から $(n+1,0)$ への移動は、$(n,0)$ に水平移動で到着した確率 $p_n$ に対して規則(b)で進む場合と、$(n,1)$ または $(n,-1)$ に水平移動で到着した後、規則(b)で $(n,0)$ に戻り、規則(e)で進む場合に分かれる。よって $$\displaystyle p_{n+1}=\frac13p_n+2\cdot\frac13p'_n.$$ また $(n+1,1)$ への移動は、$(n,1)$ に水平移動で到着して規則(b)で進む場合と、$(n,0)$ に水平移動で到着して規則(b)で $(n,1)$ へ進み、規則(c)でさらに進む場合に分かれる。したがって $$\displaystyle p'_{n+1}=\frac13p'_n+\frac13p_n\cdot\frac12=\frac13p'_n+\frac16p_n.$$ 初期値で $p'_1=p_1/2$ であり、上の式から $p'_{n+1}=p_{n+1}/2$ となるので、すべての $n\ge1$ で $p'_n=p_n/2$。従って $$\displaystyle p_{n+1}=\frac23p_n, \quad p_n=\frac13\left(\frac23\right)^{n-1}, \quad p'_n=\frac16\left(\frac23\right)^{n-1}.$$ これより $p_2=2/9$、$p'_2=1/9$ であり、(1) の値が得られる。

$x$ 座標は減少せず、$x=n$ に初めて達する移動先は $(n,0),(n,1),(n,-1)$ のいずれかである。各到達事象は互いに排反で、確率はそれぞれ $p_n,p'_n,p'_n$ だから $$\displaystyle P(\text{reach }x=n)=p_n+2p'_n=2p_n=\left(\frac23\right)^n.$$ 従って $x=2$ では $4/9$、$x=3$ では $8/27$ である。

点 $(m,0)$ には、$(m-1,0)$ から到達する場合（確率 $p_m$）と、$(m,1)$ または $(m,-1)$ から規則(b)で戻る場合（各確率 $p'_m/3$）がある。ゆえに $$\displaystyle P(\text{reach }(m,0))=p_m+\frac23p'_m=\frac43p_m =\frac49\left(\frac23\right)^{m-1} =\left(\frac23\right)^{m+1}.$$