II慶應義塾大学 2005年 数学 第II問解答・解説

配置を、各箱に1個ずつ入っている状態を $S$、1箱に3個とも入っている状態を $T$、個数が $2,1,0$ の状態を $U$ と呼ぶ。操作後の配置はこのいずれかである。各球の移動は独立なので、現在の状態ごとに次の状態になる確率を数える。 $$\displaystyle \begin{array}{c|cc} & S\text{になる確率}&T\text{になる確率}\\ \hline S&\displaystyle \frac8{27}+3\cdot\frac1{54}+2\cdot\frac1{216}=\frac{13}{36}&\displaystyle 3\cdot\frac23\left(\frac16\right)^2=\frac1{18}\\[2mm] T&\displaystyle 6\cdot\frac23\left(\frac16\right)^2=\frac19&\displaystyle \left(\frac23\right)^3+2\left(\frac16\right)^3=\frac{11}{36}\\[2mm] U&\displaystyle 2\cdot\frac2{27}+4\cdot\frac1{54}=\frac29&\displaystyle \frac1{54}+\frac2{27}+\frac1{54}=\frac19 \end{array}$$ 例えば $S$ から $S$ へ移る場合は、全ての球がそのままの箱に残る場合、2球だけが箱を交換する場合、3球が巡回して移る場合に分かれる。$U$ から $S$ へ移る場合は、2球入りの箱の2球と1球入りの箱の球を各箱へ1個ずつ割り当てる6通りを数え、その確率は $2/27$ が2通り、$1/54$ が4通りである。$T$ から $T$ へは、3球が元の箱に残る場合のほか、3球がそろって他の一方の箱へ移る場合が2通りある。

初回は $S$ から始まるから $$\displaystyle p_1=\frac{13}{36},\qquad q_1=\frac1{18}.$$ 2回目の $S$ の確率は $$\displaystyle p_2=\frac{13}{36}p_1+\frac19q_1+\frac29(1-p_1-q_1) =\frac{115}{432}.$$ $n\ge2$ では、直前が $U$ の確率は $1-p_{n-1}-q_{n-1}$ である。上の表から $$\displaystyle \begin{aligned} p_n&=\frac{13}{36}p_{n-1}+\frac19q_{n-1}+\frac29(1-p_{n-1}-q_{n-1})\\ &=\frac5{36}p_{n-1}-\frac19q_{n-1}+\frac29,\\ q_n&=\frac1{18}p_{n-1}+\frac{11}{36}q_{n-1}+\frac19(1-p_{n-1}-q_{n-1})\\ &=-\frac1{18}p_{n-1}+\frac7{36}q_{n-1}+\frac19. \end{aligned}$$ $s_n=p_n+q_n$ と置くと、2式を加えて $$\displaystyle s_n=\frac1{12}s_{n-1}+\frac13,\qquad s_1=\frac5{12}.$$ 定数解は $4/11$ であるから、差 $s_n-4/11$ は公比 $1/12$ の等比数列となり $$\displaystyle s_n=\frac4{11}+\left(\frac5{12}-\frac4{11}\right)\left(\frac1{12}\right)^{n-1} =\frac4{11}+\frac7{132}\left(\frac1{12}\right)^{n-1}.$$ また $q_{n-1}=s_{n-1}-p_{n-1}$ を $p_n$ の漸化式に代入すると $$\displaystyle p_n=\frac14p_{n-1}-\frac19s_{n-1}+\frac29 =\frac14p_{n-1}+\frac2{11}-\frac7{1188}\left(\frac1{12}\right)^{n-2}\qquad(n\ge2).$$ この式と $p_1=13/36$ を満たす形は $$\displaystyle p_n=\frac8{33}+\frac1{12}\left(\frac14\right)^{n-1}+\frac7{198}\left(\frac1{12}\right)^{n-1}.$$ 実際、右辺は $n=1$ で $13/36$ となり、上の漸化式にも代入して一致するため、帰納法で全ての自然数 $n$ に対して成り立つ。