I慶應義塾大学 2005年 数学 第I問解答・解説

(1) 共通接線を $y-a=m(x-2)$ とおく。垂直線 $x=2$ は各円の中心からの距離がそれぞれ $2,3$ なので、接線ではない。直線の式を $mx-y+a-2m=0$ とすると、2円の中心からこの直線までの距離がそれぞれ半径に等しいから $$\displaystyle \frac{|a-2m|}{\sqrt{m^2+1}}=1,\qquad \frac{|a+3m|}{\sqrt{m^2+1}}=2.$$ 符号 $\varepsilon,\delta\text{（それぞれ1または−1）}$ を用いて $a-2m=\varepsilon\sqrt{1+m^2}$, $a+3m=2\delta\sqrt{1+m^2}$ と書く。差をとり $c=2\delta-\varepsilon$ とおくと $$5m=c\sqrt{1+m^2},\qquad c\text{ は }3,1,-1,-3\text{ のいずれか}.$$ したがって $m=c/\sqrt{25-c^2}$, $\sqrt{1+m^2}=5/\sqrt{25-c^2}$ であり、 $$\displaystyle a=2m+\varepsilon\sqrt{1+m^2}=\frac{2c+5\varepsilon}{\sqrt{25-c^2}}.$$ $(\delta,\varepsilon)=(1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1)$ の順に $a=7/\sqrt{24},1/4,-1/4,-7/\sqrt{24}$ となる。よって正の有理数は $1/4$、正の無理数は $7/\sqrt{24}$ である。$a=1/4$ では $m=3/4$ なので共通接線は $3x-4y-5=0$。円 $O_2$ の中心 $(5,0)$ からこの直線への垂線の足は $$\displaystyle (5,0)-\frac{3\cdot5-4\cdot0-5}{3^2+(-4)^2}(3,-4)=\left(\frac{19}{5},\frac85\right).$$ 実際、この点は $O_2$ 上にあり、直線の中心からの距離は $2$ である。また点 $P(2,1/4)$ は直線上にある。

(2) $x\ne0$ において $$\displaystyle \frac{d}{dx}\left(-\frac{\sin x}{x^2}-\frac{\cos x}{x}\right) =-\frac{\cos x}{x^2}+\frac{2\sin x}{x^3}+\frac{\sin x}{x}+\frac{\cos x}{x^2} =\left(\frac2{x^3}+\frac1x\right)\sin x,$$ よって $(\text{お})=-\sin x/x^2-\cos x/x$ である。$\pi/2\le x\le3\pi/2$ の範囲では $2/x^3+1/x>0$ であり、$\sin x$ は $\pi/2\le x\le\pi$ で非負、$\pi\le x\le3\pi/2$ で非正である。上の原始関数を $F$ とすれば $$\displaystyle \int_{\pi/2}^{3\pi/2}|f(x)|\,dx =\{F(\pi)-F(\pi/2)\}-\{F(3\pi/2)-F(\pi)\} =2F(\pi)-F(\pi/2)-F(3\pi/2).$$ ここで $F(\pi)=1/\pi$, $F(\pi/2)=-4/\pi^2$, $F(3\pi/2)=4/(9\pi^2)$ だから、求める値は $2/\pi+32/(9\pi^2)$ である。