4香川大学 2023年 数学 第4問解答・解説

(1) 楕円上の点 $P(a\cos\theta,b\sin\theta)$ における接線は $\displaystyle \frac{x\cos\theta}{a}+\frac{y\sin\theta}{b}=1$ である。したがってその傾きは $\displaystyle -\frac{b\cos\theta}{a\sin\theta}$ であり、法線の傾きは $\displaystyle \frac{a\sin\theta}{b\cos\theta}$ となる。よって、法線 $\ell$ は$$\displaystyle y-b\sin\theta=\frac{a\sin\theta}{b\cos\theta}(x-a\cos\theta)$$である。これを整理すると$$\boxed{a\sin\theta\,x-b\cos\theta\,y=(a^2-b^2)\sin\theta\cos\theta}.$$

(2) $c=\cos\theta, s=\sin\theta, c'=\cos\theta', s'=\sin\theta', D=a^2-b^2$ とおく。(1)より2本の法線の式は$$asx-bcy=Dsc,\qquad as'x-bc'y=Ds'c'$$である。異なる2点なので $\theta\ne\theta'$。また $\displaystyle 0<\theta,\theta'<\frac{\pi}{2}$ より $\sin(\theta'-\theta)\ne0$ である。第1式に $c'$、第2式に $c$ を掛けて差をとると$$a(sc'-s'c)x=Dcc'(s-s')$$を得る。ここで $sc'-s'c=-\sin(\theta'-\theta)$ だから$$\displaystyle \boxed{x=\frac{D}{a}cc'\frac{s'-s}{\sin(\theta'-\theta)}=\frac{a^2-b^2}{a}\cos\theta\cos\theta'\frac{\sin\theta'-\sin\theta}{\sin(\theta'-\theta)}}.$$

(3) $\theta'=\theta+h$ とすると、(2)の式と三角関数の極限から$$\displaystyle \lim\limits _{h\to0}x=\frac{D}{a}\cos^2\theta\lim\limits _{h\to0}\frac{\sin(\theta+h)-\sin\theta}{\sin h}=\frac{D}{a}\cos^3\theta.$$また、第1式に $s'$、第2式に $s$ を掛けて差をとると$$-b\sin(\theta'-\theta)y=Dss'(c-c')$$となるので$$\displaystyle y=\frac{D}{b}ss'\frac{c'-c}{\sin(\theta'-\theta)},\qquad \lim\limits _{h\to0}y=-\frac{D}{b}\sin^3\theta.$$したがって$$\displaystyle \boxed{R\left(\frac{a^2-b^2}{a}\cos^3\theta,-\frac{a^2-b^2}{b}\sin^3\theta\right)}.$$

(4) $a=2,b=1$ のとき $D=3$ だから$$\displaystyle x=\frac32\cos^3\theta,\qquad y=-3\sin^3\theta.$$よって$$\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=-\frac92\cos^2\theta\sin\theta,\qquad \frac{dy}{d\theta}=-9\sin^2\theta\cos\theta.$$区間では $\sin\theta,\cos\theta>0$ なので、曲線の長さは$$\displaystyle \begin{aligned}L&=\int_{\pi/6}^{\pi/3}\sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2}\,d\theta\\&=\frac92\int_{\pi/6}^{\pi/3}\sin\theta\cos\theta\sqrt{\cos^2\theta+4\sin^2\theta}\,d\theta\\&=\frac92\int_{\pi/6}^{\pi/3}\sin\theta\cos\theta\sqrt{1+3\sin^2\theta}\,d\theta.\end{aligned}$$ここで $u=1+3\sin^2\theta$ とおくと $du=6\sin\theta\cos\theta\,d\theta$、端点では $\displaystyle u=\frac74,\frac{13}{4}$ である。したがって$$\displaystyle L=\frac34\int_{7/4}^{13/4}\sqrt{u}\,du=\frac12\left[ u^{3/2}\right]_{7/4}^{13/4}=\boxed{\frac{13\sqrt{13}-7\sqrt7}{16}}.$$