香川大学 2023年数学第1問解答・解説

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1問題

香川大学2023年度第1問

各項が正の実数である数列 $\{a_n\}$ が $a_1=1,\qquad a_2=3,\qquad a_{n+1}^2-a_na_{n+2}=2^n\quad(n=1,2,3,\ldots)$ を満たしているとする。このとき，次の問に答えよ。

(1) すべての自然数 $n$ に対して $a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n=0$ が成り立つことを示せ。

(2) $a_{n+2}+\beta a_{n+1}=a_{n+1}+\beta a_n$ がすべての自然数 $n$ に対して成り立つような実数 $\beta$ の値を求めよ。

(3) $a_n$ を $n$ を用いて表せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

数学確認元の関係を $a_{n+2}$ について解くには $a_n>0$ を使える。 $a_1=1=2^1-1$ 、 $a_2=3=2^2-1$ を基底とし、 $a_n=2^n-1,\ a_{n+1}=2^{n+1}-1$ と仮定すると $\displaystyle a_{n+2} =\frac{(2^{n+1}-1)^2-2^n}{2^n-1} =2^{n+2}-1,$ ここでは $(2^{n+1}-1)^2-2^n=(2^n-1)(2^{n+2}-1)$ を用いた。よって帰納法で一般項が成り立つ。

これを代入すると $a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n=0$ 。また $d_n=a_{n+1}-a_n=2^n$ だから、(2) は $d_{n+1}=-\beta d_n$ と同値であり、 $d_{n+1}/d_n=2$ より $\beta=-2$ 。

この問題で使う考え方

漸化式
数学的帰納法

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