4金沢大学 2024年 数学 第4問解答・解説

(1) 底辺を $\sqrt a$ とすると高さは $\displaystyle \sqrt{b-\frac a4}$。面積は $\displaystyle \frac12\sqrt a\sqrt{b-\frac a4}=\frac14\sqrt{a(4b-a)}$。三角形の成立には正の辺に加えて $\sqrt a<2\sqrt b$、すなわち $0<a<4b$ が必要。(2) 面積条件より $a_n(4a_{n+1}-a_n)=3$。これを解いて $\displaystyle a_{n+1}=\frac14\left(a_n+\frac3{a_n}\right)$。$a_n>0$ なので相加相乗平均から $\displaystyle a_n+\frac3{a_n}\ge2\sqrt3$、よって $\displaystyle a_{n+1}\ge\frac{\sqrt3}{2}$。(3) $\displaystyle a_{n+1}-1=\frac{a_n+3/a_n-4}{4}=\frac{a_n^2-4a_n+3}{4a_n}=\frac{(a_n-1)(a_n-3)}{4a_n}$。(4) 初項条件から $\displaystyle a_1\ge\frac34$。$n\ge2$ では(2)より $\displaystyle a_n\ge\frac{\sqrt3}{2}>\frac34$。$\displaystyle a\ge\frac34$ なら $|a-3|\le3a$（$\displaystyle \frac34\le a\le3$ では $3-a\le3a$、$a\ge3$ では $a-3\le3a$）だから、(3)より各 $n$ で $\displaystyle |a_{n+1}-1|\le\frac34|a_n-1|$。反復して $\displaystyle |a_n-1|\le\left(\frac34\right)^{n-1}|a_1-1|\to0$。従って $a_n\to1$。