3山口大学 2022年 数学 第3問解答・解説

(1) $P_n=(\alpha_n,0)$ とおく。$\alpha_1=1$ であり、帰納的に $\alpha_n>0$ だから $OP_n=\alpha_n$ である。よって $$\displaystyle \alpha_{n+1}=\frac32\alpha_n+\left(\frac12\right)^n.$$ $$\displaystyle \alpha_2=\frac32+\frac12=2,\quad \alpha_3=\frac32\cdot2+\frac14=\frac{13}{4},\quad \alpha_4=\frac32\cdot\frac{13}{4}+\frac18=5.$$ したがって、求める座標は $P_2$ の $x$ 座標が $2$、$P_4$ の $x$ 座標が $5$ である。

(2) $n=1$ では $$\displaystyle \left(\frac32\right)^1-\left(\frac12\right)^1=1=\alpha_1$$ である。$\displaystyle \alpha_n=\left(\frac32\right)^n-\left(\frac12\right)^n$ と仮定すると、 $$\displaystyle \begin{aligned} \alpha_{n+1} &=\frac32\left\{\left(\frac32\right)^n-\left(\frac12\right)^n\right\}+\left(\frac12\right)^n\\ &=\left(\frac32\right)^{n+1}-\left(\frac12\right)^{n+1}. \end{aligned}$$ よって数学的帰納法により、 $$\displaystyle \alpha_n=\left(\frac32\right)^n-\left(\frac12\right)^n\quad(n\ge1).$$

(3) $OQ_1$ の傾きは $\sqrt3$ であるから、$\angle P_1OQ_1=60^\circ$ であり、その二等分線 $\ell$ は $$\displaystyle y=\tan30^\circ x=\frac{x}{\sqrt3}$$ である。$\,P_nQ_{n+1}\,$ は $OQ_1$ に平行で、$P_n=(\alpha_n,0)$ を通るので、その方程式は $y=\sqrt3(x-\alpha_n)$ である。交点を $(x,y)$ とすると $$\displaystyle \frac{x}{\sqrt3}=\sqrt3(x-\alpha_n),\quad x=\frac{3\alpha_n}{2},\quad y=\frac{\sqrt3\alpha_n}{2}.$$ また $\displaystyle \alpha_{n+1}=\frac32\alpha_n+2^{-n}$ より $$\displaystyle \alpha_n<\frac32\alpha_n<\alpha_{n+1}$$ である。したがってこれは辺 $P_nQ_{n+1}$ 上の交点であり、座標は $$\displaystyle \left(\frac{3\alpha_n}{2},\frac{\sqrt3\alpha_n}{2}\right)$$ である。

(4) 辺 $P_nQ_{n+1}$ と直線 $\ell$ の交点を $X_n$、辺 $P_{n+1}Q_{n+1}$ と直線 $\ell$ の交点を $Y_n$ とする。 $$\displaystyle b=\alpha_{n+1},\quad d=b-\frac32\alpha_n=2^{-n}$$ とおく。$\,Q_{n+1}\,$ の座標は $\bigl(b,\sqrt3(b-\alpha_n)\bigr)$ であり、$Y_n=(b,b/\sqrt3)$ である。 $$\displaystyle |Q_{n+1}Y_n|=\sqrt3(b-\alpha_n)-\frac{b}{\sqrt3}=\frac{2b-3\alpha_n}{\sqrt3}=\frac{2d}{\sqrt3}>0, \quad b-x_{X_n}=b-\frac32\alpha_n=d.$$ ゆえに、$\ell$ が $T_n$ から切り取る頂点 $Q_{n+1}$ 側の三角形の面積は $$\displaystyle s_n=\frac12\cdot\frac{2d}{\sqrt3}\cdot d=\frac{d^2}{\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt3\,4^n}.$$ したがって $$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty}s_n=\frac1{\sqrt3}\sum\limits _{n=1}^{\infty}\left(\frac14\right)^n=\frac1{\sqrt3}\cdot\frac{1/4}{1-1/4}=\frac1{3\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{9}.$$