4山口大学 2022年 数学 第4問解答・解説

〔第4問〕

(1) 合成関数の定義から $$(h\circ g)(n)=h(6-n)=14-(6-n)=n+8, \qquad (g\circ h)(n)=g(14-n)=6-(14-n)=n-8.$$

(2) 条件2の第1式に $n-3$ を代入すると $$f(n)=f(6-n)=(f\circ g)(n).$$ 条件2の第2式に $n-7$ を代入すると $$f(n)=f(14-n)=(f\circ h)(n).$$ いずれも任意の整数 $n$ について成り立つ。

(3) (2)より、任意の整数 $n$ について $$f(n)=f(6-n)=f\bigl(14-(6-n)\bigr)=f(n+8).$$ したがって8は $f$ の周期である。また、条件2の第1式に $n=3$ を代入すると $f(6)=f(0)=0$。 $$2022=6+8\cdot252$$ なので、$f(2022)=f(6)=0$。

(4) 任意の整数 $n$ を $n=8q+r$（$q\text{ は整数},\ 0\le r\le7$）と表す。8周期より $f(n)=f(r)$。さらに条件2の第1式は8で割った余りについて $$0\leftrightarrow6,\qquad 1\leftrightarrow5,\qquad 2\leftrightarrow4, \qquad 3\leftrightarrow3,qquad 7\leftrightarrow7 \quad(\bmod 8)$$ という対応を与える。従って、どの $f(n)$ も $$f(0),\ f(1),\ f(2),\ f(3),\ f(7)$$ のいずれかであり、値の集合 $A$ の要素数は高々5である。