2山口大学 2022年 数学 第2問解答・解説

・ 中心対称より $\overrightarrow{GB'}=-\vec b,\ \overrightarrow{GC'}=-\vec c$ である。したがって $$\overrightarrow{B'C'}=\overrightarrow{GC'}-\overrightarrow{GB'}=\vec b-\vec c =-\overrightarrow{BC}.$$ よって $BC\parallel B'C'$ である。

・ 原点を任意にとったときの $A,B,C,G$ の位置ベクトルをそれぞれ $\vec x_A,\vec x_B,\vec x_C,\vec x_G$ とする。重心の位置ベクトルは $$\displaystyle \vec x_G=\frac{\vec x_A+\vec x_B+\vec x_C}{3}$$ だから、 $$\vec a+\vec b+\vec c =(\vec x_A-\vec x_G)+(\vec x_B-\vec x_G)+(\vec x_C-\vec x_G) =\vec 0.$$

・ $\vec a=-(\vec b+\vec c)$ を用いる。三角形 $ABC$ は退化していないので、$\vec b,\vec c$ は一次独立である。辺 $B'C'$ 上の点 $X$ を $$\overrightarrow{GX}=(1-t)\overrightarrow{GB'}+t\overrightarrow{GC'} =(t-1)\vec b-t\vec c\qquad(0\le t\le1)$$ とおく。辺 $AB$ 上の点を $P$ とし、$\overrightarrow{GP}=(1-s)\vec a+s\vec b$（$0\le s\le1$）と表すと $$\overrightarrow{GP}=(2s-1)\vec b-(1-s)\vec c.$$ 係数を比較すると $t=2s,\ t=1-s$ なので $\displaystyle s=\frac13,\ t=\frac23$ となる。よって $P$ は辺 $AB$ と辺 $B'C'$ の共通点である。 同様に、辺 $AC$ 上の点を $Q$ として $\overrightarrow{GQ}=(1-r)\vec a+r\vec c$（$0\le r\le1$）とおくと $$\overrightarrow{GQ}=(r-1)\vec b+(2r-1)\vec c.$$ これを $\overrightarrow{GX}$ と比較すると $r=t,\ 2r-1=-t$ より $\displaystyle r=t=\frac13$ となる。したがって $Q$ は辺 $AC$ と辺 $B'C'$ の共通点である。どちらも線分上のパラメータが $0$ 以上 $1$ 以下だから、辺どうしが交わる。

・ (3)より、直線 $B'C'$ は辺 $AB,AC$ をそれぞれ頂点 $A$ から辺の長さの $\displaystyle \frac13$ の位置で横切る。また $B'C'\parallel BC$ なので、頂点 $A$ の側に切り取られる三角形の相似比は $\displaystyle \frac13$、面積は $\displaystyle \frac19S$ である。対称な議論により、頂点 $B,C$ の側にもそれぞれ面積 $\displaystyle \frac19S$ の三角形が切り取られる。これら三つの三角形は互いに重ならず、残る中央の六角形が $T$ と $T'$ の共通部分である。したがってその面積は $$\displaystyle S-3\cdot\frac19S=\frac23S.$$