III順天堂大学 2014年 数学 第III問解答・解説

(1) 三角形の内心とは、三つの内角の二等分線の交点である。内心は三辺からの距離が等しく、その点を中心とする円が三辺に接する。

(2) $|\vec u|=1$ より $\vec u\cdot\vec u=1$ である。従って $$\vec u\cdot\vec w =\vec u\cdot\vec v-(\vec v\cdot\vec u)(\vec u\cdot\vec u) =\vec u\cdot\vec v-\vec v\cdot\vec u=0.$$ よって $\vec u$ と $\vec w$ は直交する。さらに $\vec v$ は $\vec u$ と平行でないので $\vec w\ne\vec0$ である。

(3) $c=\vec u\cdot\vec v$ とおく。$\vec u,\vec v$ は長さ1で平行でないから $1-c^2>0$ である。また $$\vec w\cdot\vec u=kc+l,\qquad \vec w\cdot\vec v=k+lc.$$ したがって $$\vec x=k(\vec v-c\vec u),\qquad \vec y=l(\vec u-c\vec v).$$ 内積を用いて $$|\vec v-c\vec u|^2=1-c^2,\qquad |\vec u-c\vec v|^2=1-c^2$$ だから $$|\vec x|=k\sqrt{1-c^2},\qquad |\vec y|=l\sqrt{1-c^2}.$$ $k,l$ は正で $\sqrt{1-c^2}>0$ なので、$|\vec x|=|\vec y|$ となる条件は $$k=l$$ である。

(4) 三角形 $OAB$ の内接円の半径を $\rho$、面積を $K$ とする。$O$ を原点とし、$\overrightarrow{OI}=\lambda\vec f+\mu\vec g$ とおく。$I$ は三角形の内部にあるため、$\lambda,\mu>0$ である。面積を比べると $$\displaystyle \lambda=\frac{[OBI]}{[OAB]}=\frac{a\rho/2}{K},\qquad \mu=\frac{[OAI]}{[OAB]}=\frac{b\rho/2}{K}.$$ また、内心から三辺までの距離はいずれも $\rho$ だから、三つの小三角形の面積を足して $$\displaystyle K=\frac{a\rho}{2}+\frac{b\rho}{2}+\frac{c\rho}{2} =\frac{(a+b+c)\rho}{2}.$$ 従って $\displaystyle \lambda=\frac{a}{a+b+c}$, $\displaystyle \mu=\frac{b}{a+b+c}$ であり、 $$\displaystyle \overrightarrow{OI}=\frac{a\vec f+b\vec g}{a+b+c}.$$