I順天堂大学 2014年 数学 第I問解答・解説

(1) まず $$\begin{pmatrix}1&-2\\1&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1&2\\-1&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$$ であるから，この行列の逆行列は $\begin{pmatrix}-1&2\\-1&1\end{pmatrix}$ である。与えられた第1式の第1行と第2式の第1行を2で割った式から $$(1,-2)A=(-11,1),\qquad (1,-1)A=(-4,3)$$ を得る。したがって $$\begin{pmatrix}1&-2\\1&-1\end{pmatrix}A =\begin{pmatrix}-11&1\\-4&3\end{pmatrix},$$ 両辺に上の逆行列を左から掛ければ $$A=\begin{pmatrix}-1&2\\-1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-11&1\\-4&3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3&5\\7&2\end{pmatrix}.$$ 検算すると，第1行は $(1,-2)A=(-11,1)$，第2式の第1行は $(2,-2)A=(-8,6)$ となる。残る各行はそれぞれその2倍，3倍であり，原文の二つの行列等式を満たす。

(2) $x>0$ で $$\displaystyle y'=\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac12x^{-1/2}$$ だから $\displaystyle a=\frac12,\ b=-\frac12$ である。点 $(1,1)$ における接線は $$\displaystyle y-1=\frac12(x-1),\qquad y=\frac12x+\frac12.$$ この接線上で $x=1+h$ とすると，値は $\displaystyle 1+\frac12h$ である。$h>0$ のとき有理化して $$\displaystyle 1+\frac12h-\sqrt{1+h} =\frac{(1+\frac12h)^2-(1+h)}{1+\frac12h+\sqrt{1+h}} =\frac{h^2/4}{1+\frac12h+\sqrt{1+h}}.$$ 分母は $2$ より大きいので $$\displaystyle 0<1+\frac12h-\sqrt{1+h}<\frac18h^2$$ が従う。

$\displaystyle \sqrt{17}=4\sqrt{1+\frac1{16}}$ では接線による近似値は $$\displaystyle 4\left(1+\frac1{32}\right)=4+\frac18=4.125.$$ 誤差は $\displaystyle 4\cdot\frac18(\frac1{16})^2=\frac1{512}$ より小さいから $$4.123046875<\sqrt{17}<4.125,$$ よって小数第2位までの値は $4.12$ である。

同様に $\displaystyle \sqrt{37}=6\sqrt{1+\frac1{36}}$ の近似値は $$\displaystyle 6\left(1+\frac1{72}\right)=6+\frac1{12}=6.08333\ldots.$$ 誤差は $\displaystyle 6\cdot\frac18(\frac1{36})^2=\frac1{1728}$ より小さい。したがって $$\displaystyle 6+\frac{143}{1728}<\sqrt{37}<6+\frac1{12},$$ この範囲は $6.075$ と $6.085$ の間にあるので，小数第2位までの値は $6.08$ である。

(3) グラフを $(h,k)$ だけ平行移動した関数を $$g(x)=(x-h)^3-4(x-h)+k$$ とする。3つ目の交点の $x$ 座標を $r$ とすると，零点は $1,2,r$ である。展開した式と $(x-1)(x-2)(x-r)$ の係数を比べて $$3h=3+r,\qquad 3h^2-4=2+3r$$ を得る。第1式から $r=3h-3$ であり，これを第2式に代入すると $$\displaystyle h^2-3h+1=0, \qquad h=\frac{3\pm\sqrt5}{2}.$$ さらに，定数項を比べると $-h^3+4h+k=-2r$ だから $$k=h^3-4h-2r.$$ $h^2=3h-1$ より $h^3=8h-3$ である。よって $k=3-2h$ となり，二つの移動は $$\displaystyle (h,k)=\left(\frac{3-\sqrt5}{2},\sqrt5\right), \qquad (h,k)=\left(\frac{3+\sqrt5}{2},-\sqrt5\right).$$ それぞれの3つ目の交点は $r=3h-3$ から $$\displaystyle r=\frac{3-3\sqrt5}{2}, \qquad r=\frac{3+3\sqrt5}{2}$$ である。係数比較で得た三つの根と定数項が一致するため，いずれも条件を満たす。

(4) 内分比を $3-\sqrt3:3+\sqrt3$ とするので，辺の全体に対する内分点の割合は $$\displaystyle q=\frac{3-\sqrt3}{6}.$$ $\displaystyle q^2+(1-q)^2=\frac23$ である。正方形の頂点を $A=(u,v), B=(-v,u), C=(-u,-v), D=(v,-u)$ と表す。次の頂点は $A'=(1-q)A+qB$，$B'=(1-q)B+qC$ であり，座標を計算すると $B'=(-v',u')$（$A'=(u',v')$）となる。同様に $C'=-A', D'=-B'$ だから，次の四角形も中心 $O$ の正方形である。また直交する等長の辺を用いて計算すると $$\displaystyle \frac{A'O^2}{AO^2}=q^2+(1-q)^2=\frac23, \qquad \frac{A'B'^2}{AB^2}=q^2+(1-q)^2=\frac23.$$ 従って半径と辺長の比はともに $\sqrt{2/3}=\sqrt6/3$ であり，初期辺長が $2$ なので $$\displaystyle \frac{A_nO}{A_{n-1}O}=\frac{\sqrt6}{3}, \qquad A_nB_n=2\left(\frac{\sqrt6}{3}\right)^n.$$ $A_{n-1}$ から $A_n$ への角の増加を $\delta$ とすると，直交する半径方向成分から $$\displaystyle \tan\delta=\frac{q}{1-q}=\frac{3-\sqrt3}{3+\sqrt3}=2-\sqrt3=\tan\frac{\pi}{12}.$$ 角は鋭角なので $\displaystyle \delta=\frac{\pi}{12}$。よって $A_n$ の極座標は $$\displaystyle r_n=\sqrt2\left(\frac{\sqrt6}{3}\right)^n, \qquad \theta_n=\frac{n\pi}{12}.$$ ここで $\displaystyle \log(\sqrt6/3)=\frac12\log(2/3)$ だから，これらの点を通る対数らせんは $$\displaystyle r=\sqrt2\exp\left(\frac6\pi\log\frac23\,\theta\right).$$ また各正方形の面積は辺長の2乗であるから $$\displaystyle \sum\limits _{n=0}^{\infty}(A_nB_n)^2 =\sum\limits _{n=0}^{\infty}4\left(\frac23\right)^n =\frac{4}{1-2/3}=12.$$ 初項 $4$，公比 $2/3$ の無限等比級数として検算できる。

(5) 半径1の球で，中心から距離 $1/2$ にある平面が切り取る小さい球冠の高さは $1/2$ である。断面積を積分して $$\displaystyle V_{\rm small}=\pi\int_{1/2}^{1}(1-z^2)\,dz=\frac{5\pi}{24}.$$ 球全体の体積は $4\pi/3=32\pi/24$ なので，大きい方は $27\pi/24$，比は $5:27$ である。

楕円 $x^2/4+y^2=1$ の傾き $2/3$ の接線を $\displaystyle y=\frac23x+c$ とおく。これを楕円に代入して得る $x$ の二次式が重解をもつから判別式を0とおくと $c^2=25/9$。その $x$ 軸との交点は $-3c/2$ であり，正の部分にあるため $c<0$。従って接線は $$\displaystyle y=\frac23x-\frac53.$$ この楕円を $x$ 軸回転した立体の断面円の半径の2乗は $1-x^2/4$ である。よって $$\displaystyle V=\pi\int_{-2}^{2}\left(1-\frac{x^2}{4}\right)dx=\frac83\pi.$$

$a=0$ の切断面で，直線 $\displaystyle y=\frac23x$ に沿う座標を $s$ とし，$\displaystyle (x,y,z)=(\frac{3s}{\sqrt{13}},\frac{2s}{\sqrt{13}},z)$ とおく。回転体は $$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2+z^2=1$$ を満たすため，断面は $$\displaystyle \frac{25}{52}s^2+z^2=1.$$ この楕円の半径は $2\sqrt{13}/5$ と $1$ なので，面積は $2\sqrt{13}\pi/5$ である。

最後に $X=x/2, Y=y, Z=z$ と変換すると立体は単位球になり，平面 $\displaystyle y=\frac23x-a$ は $$4X-3Y=3a$$ となる。原点から平面までの距離は $d=3a/5$。$d=1/2$ のとき小球冠の高さは $1/2$ で，その体積と残りの比は上で求めた $5:27$ である。したがって条件を満たすのは $$\displaystyle \frac{3a}{5}=\frac12,\qquad a=\frac56.$$ アフィン変換は両側の体積を同じ倍率で変えるため，体積比は元の回転体でも同じである。